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一、容量的數學結構： 一般人所稱的容量，有時是指「液量」，有時是指「容量」。 「液量」是指流體物質在容器中所占據的空間，例如：杯中的水量、瓶裡的牛奶量。 「容量」是指流體物質占滿容器的最大盛載量，例如：杯子裝滿的水量、滿瓶的牛奶量。 容量的估算係指液體而言，並不包括固體物質─有些細微的固體，例如：米、砂、糖、鹽等，雖可利用容器盛裝，但是顆粒之間是有空隙的，敲一敲使空隙減少，還可以多裝一些，所以通常是以重量來敘述固體物質。 (一) 體積和容積、容量的關係 「體積」是物體所占空間的大小。「容量」是流體物質占滿容器的大小。空體（中間是空的物體）所能容納物體的體積，叫做他們的「容積」或「容量」。 容積與體積有著緊密的聯繫，因為「容積」是箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，所以計量容積時的計算方法與所使用的計量單位，跟計量體積一般是一樣的。 從概念的意義上來看，體積和容積還是有不同之處。如：對空體（中間是空的物體，如箱、桶、罐、倉庫等）來說是容積，對實體來說是體積。 計量的方法上來看，計算物體體積時，要按外部尺寸計算。計算容器容積時，由於容器有厚，要把厚度減去，所以要按內部尺寸計算。 從用的計量單位上來看，計算體積所使用的是立方公尺、立方公分。計算容積時，一般也使用這單位，但是有時也用「公升」、「分公升」和「毫公升」。這是在計算物體時所不能使用的。它只限於計量液體，如：水、油、藥液、墨水……等的體積時使用。  在計算具體的實體問題時，要區別是求「體積」，還是求「容積」。不要把求容積和求體積混為一談。 例:一個可裝750毫升（容量）的保溫水壺連蓋子的體積（外體積）蠻大的，它佔據了小背包可裝東西的地方（容積）的六分之一，現在裡面只裝了200毫升（液積）的熱咖啡。 上面的敘述提到的量皆可以用體積的概念加以概括，但由於生活的需要以及認知發展的差異，使我們在課程設計時要謹慎啟用這些語詞，並且注意與學生溝通問題情境中的意義。 (二) 公秉的意義 公秉是容量和液量的單位，1公秉＝1000公升。按國際標準制，這個單位名稱應為「千公升」，不過，中央標準局准予列為併用單位。一般公開報導或文件上還是以使用公秉者居多。 由於六年級上學期已經把容量、液量、容積、體積的單位做了聯絡，即1公升水的體是1000立方公分，所以此處亦有1公秉水的體積是1立方公尺。 (三)以公秉為單位的實測及估測不規則實體的體積 以毫升、分升及公升為單位的實測活動可以使用有刻度的毫升、分升量筒，以及1公升量杯進行實測，但是什麼是以公秉為單位的實測呢？我們認為有兩種方式。 第一種是透過可以裝液體的容器內部空間的體積的測量與計算而得。這是小學生可以學的。第二種是透過可以測定流量的水管注水或排水方式測得。這就偏於專門技術了。 至於估測呢？則先把容器簡化為特殊幾何形體，其體積可以透過測量或估測此形體某些部位的長度後，帶入公式計算而得。或者由上述第二種實測法衍生而出。 （四）不規則實體的體積之測量 一般不規則的實體（如石頭體積、錐體……等）較不易由直接測量邊長方式獲得。因此可藉由間接測量而獲得。在第十一冊第二單元，對兒童而言，透過排容原理，了解容積和體積的關係性。即「一公升的水是1000立方公分」，亦即「一毫升的水的體積等於一立方公分」的共識。進而知道一個長方體積木或多個1立方公分積木放入量筒時，水上升的毫升數會和長方體或多個1立方公分積木體積的立方公分數一樣。而測量不規則實體的體積僅能引用前面「物體的體積等於排開水的體積」的事實，並藉容積和容量的關係，換算而間接獲得。換言之，如把一塊石頭放入水中，如測出上升（或排出）的水量是500毫升，則體積即為500立方公分。 （五）以排水法測定浸沒水中物體體積 將容器裝水，水量為ａ。將密度比水大的物體完全浸沒水中，就其水面高度折算成水量為ｂ。則此物體之體積即為ｂ－ａ的水量的體積。這是用排水法測定體積的原理。 實際測定時，視情況會有一些修正。 事先不知道ａ須為多少時，可先將物體置入，再加水至浸沒。然後將物體提起，檢查此時的體積為ｂ，則物體體積為ａ－ｂ。此法與上法顛倒。物體上必須先繫好繩子。 若物體會浮，則可將物體與鐵塊綁住來測，再將鐵塊體積扣除。 若物體有細孔，可先將物體沒入水中至不再發生氣泡為止。再迅速將物體提開。但物體絕不可以壓縮，否則就沒有辦法。 使用水面做刻度記號的方法時，須注意容器不可傾斜。 可用毫升、分升刻度量杯，及公升量杯配合吸管來決定ｂ－ａ之值。 將容器盛滿水後，再將物體小心置入，確定完全沒入水中。如能確定接到全部溢出的水加以測量，則此法最直接。 二、認知結構 （一）皮亞傑的體積保留概念 通常學童在六歲之後,其保留概念( conservation:守恆概念 )才發展。在此之前，他們還無法了解物質經過物