第四节无穷大量与无穷小量.ppt

微积分讲义 设计制作 王新心 §2.4 无穷大量与无穷小量 　　（一）无穷大量 　　（二）无穷小量 　　（三）无穷大量与无穷小量的关系 　　（四）无穷小量的阶 　　（一）无穷大量 　　引例　讨论函数　　　　当　　　时的 　　如图所示 可以任意的大。 称当　　　时，　　　　是一个无穷大量。 　　在　无限接近1的过程中， 第二章 极限与连续 变化趋势。 　　【定义2.8】若对任意给定的正数　， 变量　是无穷大量， 　　例如 第二章 极限与连续 变量　在其变化过程中， 在那个时刻以后， 总有那么一个时刻， 不等式　　　恒成立， 则称 记作 或称变量　趋于无穷大。 　　说明　（1）无穷大量（　）不是数， 　　（2）无穷大量与变化过程有关。 但 在　　　时，变量　　　　是无穷大量； 在　　　时，变量　　　　不是无穷大量； 第二章 极限与连续 不可与很大的数（如　　）混为一谈。 　　（3）无穷大量一定无界； 　　例如　函数 如图所示 取　　　，则 取　　　　，而 　　所以，　　　时， 函数无界。 第二章 极限与连续 成立。 反之，不一定 无穷大量。 函数　　　　　　不是 　　（二）无穷小量 　　【定义2.9】以0为极限的变量， 　　例1　因为　　　　， 变量　　　　为无穷小量。 第二章 极限与连续 小量。 过程中， 　　即对任意给定的　　， 不等式　　　恒成立， 总有那么一个时刻， 在那个时刻以后， 若在变量　的变化 则称变量　为无穷小量。 称为无穷 所以当　　　时， 　　例2　因为　　　　， 变量　　　为无穷小量。 　　例3　因为　　　　， 变量　　　为无穷小量。 　　说明　（1）不要将无穷小量与很小的数 第二章 极限与连续 所以当　　　时， 所以当　　　时， （如　　　）混为一谈， 小量的常数。 0是唯一一个是无穷 　　（2）无穷小量与变化过程有关。　 　　例如　　　　当　　　时是无穷小量； 当　　　时就不是无穷小量。 因为 第二章 极限与连续 　　无穷小量与变量极限的关系 　　【定理 2.5】 其中　为同一变化过程中的无穷小量。 　　证明 总有那么一 个时刻， 恒成立。 令 即 故　是无穷小量， 证毕。 第二章 极限与连续 在那个时刻以后， 不等式 且 　　【定理 2.6】有界变量与无穷小量的乘积 　　证明 即存在一个正数　， 　　又设　是无穷小量， 第二章 极限与连续 是无穷小量。 在这一时刻之后， 恒有 么一个时刻， 即　　　， 总存在那 在那个时刻以后，恒有 设　在某个时刻之后是有界变量， 　　在上述两个时刻中较晚的那个时刻以后， 　　因此，在那个较晚的时刻以后， 成立， 证毕。 　　【推论】常量与无穷小量的乘积是无穷 第二章 极限与连续 （1）和（2）都成立。 恒有 所以　　是无穷小量。 小量。 　　例4　求 　　解　因为　　　　， 又 所以当　　　时， 与无穷小量的乘积， 则 第二章 极限与连续 所以　　是有界变量 是有界变量 　　（三）无穷小量与无穷大量的关系 　　【定理 2.7】在变量　的变化过程中 （1）若　是无穷大量， （2）若　　　是无穷小量， 　　证明（1）若　是无穷大量， 总有那么一个时刻， 即 因此　是无穷小量。 第二章 极限与连续 则对 在那个时刻之后，恒有 则　是无穷小量； 则　是无穷大量。 　　同理可证（2），证毕。 　　由此定理知， 　　例 第二章 极限与连续 以相互转化的。 无穷大和无穷小的问题是可 　　（四）无穷小量的阶 　　引例　　　时，　　　都是无穷小量， 但它们趋于0的速度却不相同。 列表比较 　　从表中看出， 第二章 极限与连续 度都快得多。 　比　和　　趋于0的速 　　趋于0的速度快慢是相对的， 　　若　　　　， 量， 　　【定义2.10】设　　是同一变化过程中的 第二章 极限与连续 两个无穷小量。 则称　是比　高阶的无穷小 比较而言的， 0的速度， 是需要相互 下面通过比较两个无穷小量趋于 引入无穷小量阶的概念。 记作　　　　。 　　若　　　　， 　　同阶无穷小量中， 等价无穷小量， 　　若　　　　　　　　， 　阶无穷小量。 第二章 极限与连续 　　若　　　　　　（　为常数）， 　是同阶无穷小量。 则称　与 若　　时， 称　与　是 记作　　　。 则称　是比　低阶的无穷小 量。 则称　是关于　的 　　引例中， 所以当　　　时， 记为　　　　。 　　因为 所以当　　　时， 第二章 极限与连续 　是比　高阶的无穷小量。 而　是比　低阶的无穷小量。 　与　是同阶无穷小量。 因为 内容小结 　　1.无穷大量与无穷小量的概念 　　2.无穷大量与无穷小量的关系 　　4.无穷小量的阶 ----互为倒数关系。 作业　P91 7---10 　　3.无穷小量与变量极