对圆锥曲线的一个性质探究和应用.doc

对圆锥曲线的一个性质探究和应用 普陀中学 洪小芳 一 引例 由新课标人教A版（2007年2月第二版）数学选修2-1第73页习题2.4A组第6题：直线与抛物线相交于两点，求证: 。 第81页B组第4题：已知直线与抛物线交于两点，且，交于点，点的坐标为，求的值。 在解答这两道题目中我们会发现直线过点，每年的各种高考复习资料，圆锥曲线复习中几乎都有此类训练题。它们有一个共同的性质：直线与圆锥曲线交于两点，该两点与顶点的连线互相垂直，则该直线与轴的交点是定点。 二 性质证明 已知椭圆的右顶点为，设是椭圆的两个动点，且，求证：直线过定点。 证明：显然直线的斜率不可能为，则设直线，容易得。 由得， 显然，则， ， ， 即 化简得 符合题意， 直线过定点 已知双曲线的右顶点为，设是双曲线右支的两个动点，且，求证：直线过定点。 证明：显然直线的斜率不可能为，则设直线，容易得。 由得， 显然，则， ， ， 即 化简得 符合题意， 直线过定点 已知点是抛物线的两动点，为坐标原点，满足，求证：直线过定点。 证明：显然直线的斜率不可能为，则设直线，容易得。 由得 显然，则， ，， ， 所以直线过定点。 三 应用举例 例1:已知直线交椭圆于两点，点为椭圆右顶点，满足，求点到直线的最大距离及此时直线的方程。 解：，直线过定点 点到直线的最大距离为， 此时直线的方程为。 例2：已知直线交抛物线于两点，且满足（其中为原点），过作，垂足为，求点的轨迹方程。 解：，直线过定点 又 点的轨迹是以为直径的圆（除去原点）， 点的轨迹方程为。 《普通高中数学课程标准（试验）》中指出：通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力。圆锥曲线之间有许多类似的性质，利用类似性质解决圆锥曲线问题，既妙趣横生，又驭繁就简，化难为易。