实变函数第三章复习题及解答.docVIP

第三章 复习题 一、判断题 1、设是定义在可测集上的实函数，如果对任意实数，都有为可测集，则为上的可测函数。（√ ） 2、设是定义在可测集上的实函数，如果对某个实数，有不是可测集，则不是上的可测函数。（√ ） 3、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对某个实数， 为可测集。（× ） 4、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数， 为可测集。（× ） 5、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数， 为可测集。（√ ） 6、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数和（）， 为可测集。（× ） 7、设是零测集，是上的实函数，则为上的可测函数。（√ ） 8、若可测集上的可测函数列 在上几乎处处收敛于可测函数，则 在上“基本上”一致收敛于。（× ） 9、设为可测集上几乎处处有限的可测函数，则在上“基本上”连续。（√ ） 10、设为可测集，若上的可测函数列（），则 的任何子列都在上几乎处处收敛于可测函数。（× ） 11、设为可测集，若上的可测函数列于，则（）。（× ） 二、填空题 1、 等于 ， 等于 。 2、 包含于 ， 包含于 ； 等于 ， 等于 。 3、设，则 等于 。 4、设，则 等于 。 5、由于区间上的单调函数的不连续点所成的集为 至多可数 集，则为上的 几乎处处 连续函数，从而为上的 可测 函数。 6、叙述可测函数的四则运算性 可测函数经过四则运算所得的函数（只要有意义）仍可测 。 7、叙述可测函数与简单函数的关系 简单函数是可测函数；在几乎处处收敛的意义下，任何可测函数总可表示成一列简单函数的极限 。 8、叙述可测函数与连续函数的关系 连续函数必为可测函数；可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数 。 9、叙述叶果洛夫定理 设E是测度有限的可测集，则E上几乎处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛 。 10、叙述鲁津定理 设E是可测集，则E上的可测函数“基本上”是连续函数 。 11、若，（），则 等于 几乎处处于 。 三、证明题 1、证明：上的连续函数必为可测函数。 证明：设是上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数，是开集，从而是可测集。所以，是上的可测函数。 2、证明：上的单调函数必为可测函数。 证明：不妨设是上的单调递增函数，对任意实数，记，由单调函数的特点得，当时，，显然是可测集；当时，，也显然是可测集。故是上的可测函数。 3、证明：若，（），则于。 证明：由于，而 ， 所以， ， 由，（）得 ，。 所以，，从而，即于。 4、证明：若，（），则（）。 证明：对任意，由于 ， 所以，由可得， 和至少有一个成立。 从而 ， 所以， 。 又由，（）得， ，。 所以， ，即（）。 5、若（），则（）。 证明：因为，所以，对任意，有 ， 。 又由（）得，。所以， ，即（）。