15电子科大图论上课及复习总结杨春.ppt

* * Email: yc517922@126.com 图论及其应用 任课教师：杨春 数学科学学院 本次课主要内容 (一)、度极大非哈密尔顿图 (二)、TSP问题 度极大非哈密尔顿图与TSP问题 1、定义 (一)、度极大非哈密尔顿图 定义1 图G称为度极大非H图，如果它的度不弱于其它非H图。 2、C m,n图 定义2 对于1≦ m n/2 ,C m,n图定义为： 例如，作出C1,5与C2,5 3、Cm,n的性质 C1,5 C2,5 引理1 对于1≦mn/2的图Cm,n是非H图。 证明：取S=V(km),则ω(G-S)=m+1|S|=m,所以，由H图的性质知，G是非H图。 4、度极大非H图的特征 定理1 (Chvátal,1972) 若G是n≧3的非H单图，则G度弱于某个Cm,n图。 证明： 设G是度序列为 (d1,d2,…,dn)的非H单图，且d1≦d2≦…≦dn, n≧3。 由度序列判定法：存在mn/2,使得dm≦m,且dn-mn-m.于是，G的度序列必弱于如下序列： 而上面序列正好是图Cm,n的度序列。 注： (1) 定理1刻画了非H单图的特征：从度序列角度看，Cm,n图族中每个图都是某个n阶非H单图的极图。 (2) 定理的条件是充分条件而非必要条件。 例如：当n=5时，其度极大非H图族是：C1,5与C2,5 C1,5 C2,5 C1,5的度序列是：(1,3,3,3,4), C2,5的度序列是(2,2,2,4,4)。 而5阶圈C5的度序列是: (2,2,2,2,2),它度弱于C2,5,但是C5是H图。 (3) 如果n阶单图G度优于所有的Cm,n图族，则G是H图。 G的度序列是(2,3,3,4,4),优于C1,5的度序列 (1,3,3,3,4)和C2,5的度序列 (2,2,2,4,4)。所以可以断定G是H图。 例如： G 推论 设G是n阶单图。若n≧3且 则G是H图；并且，具有n个顶点 条边的非H图只有C1,n以及C2,5. 证明: (1) 先证明G是H图。 若不然，由定理1，G度弱于某个Cm,n,于是有： 这与条件矛盾！所以G是H图。 (2) 对于C1,n,有： 除此之外，只有当m=2且n=5时有： 这就证明了(2)。 注：推论的条件是充分而非必要的。 例如，在下图中，尽管C2,7+uv的边数不满足推论不等式，可它是H图。 u v C2,7+uv 例1 设G是度序列为(d1,d2,…,dn)的非平凡单图，且d1≦d2≦…≦dn。证明：若G不存在小于(n+1)/2的正整数m，使得：dmm且dn-m+1n-m,则G有H路。 证明：在G之外加上一个新点v,把它和G的其余各点连接得图G1 G G1 v G1的度序列为： (d1+1,d2+1,…,dn+1, n) 由条件：不存在小于(n+1)/2的正整数m,使得dm+1≦m,且dn-m+1+1n-m+1=(n+1)-m。于是由度序列判定定理知：G1是H图，得G有H路。 例2 一只老鼠吃3*3*3立方体乳酪。其方法是借助于打洞通过所有的27个1*1*1 的子立方体。如果它从一角上开始，然后依次走向未吃的立方体，问吃完时是否可以到达中心点？ 解：如果把每个子立方体模型为图的顶点，且两个顶点连线当且仅当两个子立方体有共同面。那么，问题转化为问该图中是否存在一条由角点到中心点的H路。 如果起点作为坐标原点，那么27个子立方体可以编码为：(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),…,(3,3,3) 容易知道：G是偶图，且如果(1,1,1)在X中，则中心点(2,2,2)必在Y中。 又容易知道：|X|=14, |Y|=13. G中不存在由点(1,1,1)到点(2,2,2)的H路。否则，将(1,1,1)和(2,2,2)连线后得到的图G1有H圈。 但是，G1不能是H图。因为在G1中，取S=Y,则可得到：14=ω(G1-S)|S|=13. 故，老鼠最后不能到达中心点。 例3 对m条边的n阶图G，若G的每两个顶点都由一条H路连接着，称G是哈密尔顿连通图。 (1) 证明：若G是H连通图且n≧4,则 (2) 对于n≧4,构造一个H连通图G,使得： 证明： (1) 可以证明，δ