昆明理工大学材料力学第十一章应力状态分析解析.ppt

60 20 20 40 ■ 图解法（叠加法） 20 20 40 60 σ ? o D1(20,-20) D2(40,20) 60 A B C §11-4 广义胡克定律 一、广义胡克定律 适用于单向拉压应力状态 适用于纯剪应力状态 单向应力状态下： ●三向主应力状态下应力与应变间的关系： 求沿σ1、σ2 、σ3方向 的线应变ε1、ε2 、ε3？ ＋ ＋ （叠加法） ＋ ＋ 同理： 广义胡克定律 （由主应力表示的） 注意： ①广义胡克定律的使用条件： b.各向同性材料, a.应力不超过比例极限， c.小变形。 ②σ1、 σ2 、 σ3要代入正负号计算。 ③ ε1、 ε2 、 ε3分别与σ1、 σ2 、 σ3方向一致，叫主应变。 ε1≥ ε2 ≥ ε3 ④ 如果三个主应力中有一个为0，应力为0的方向应变不一定为0。 比如：σ1≠0，σ2 ≠0， σ3=0。 有无可能为0？ ⑤单元体应力状态如图：（不是主单元体） 问x、y、z方向的线应变εx、εy 、εz？ 由弹性力学分析得： 说明：线应变与切应力无关。 广义胡克定律 二、体积变形 c b a 有一主单元体： 受力前：V=abc 受力后各方向有了变形： 高阶微量略去不计 单位体积的体积改变量： 体积应变 受力前：V=abc c b a 受力后： 体积应变: c b a 换成应力表达式: 改写成: 令: →体积弹性模量，量纲与E一致。 →三个主应力的平均值 ①体积应变只与三个主应力之和有关，而与它们之间的比例无关。 结论: ②三个主应力之和为0，则体积应变? =0，无体积改变。纯剪应力状态体积不改变。 ? ? 纯剪应力状态体积不改变， ? ? 但有形状的改变。 ③两单元体如图所示： 结论: 三向等值应力状态就是形状不变的。 两个单元体的体积应变相等，?a=?b 。 在（b）单元体上： 因此，变形前三条棱边的某种比例，变形后各棱边仍保持此比例，单元体的形状与变形前相似，称这种情况是形状不变的。 三向等值应力状态形状不变, 但有体积的改变。 一般的应力状态，既有体积的改变， 又有形状的改变。 纯剪应力状态体积不改变， 但有形状的改变。 ? §11-5 空间应力状态下的应变能密度 ●弹性变形能：变形固体处于弹性阶段，可视为弹性体，它在外力作用下产生变形时，其内部就储存有能量，外力拆除时，变形消失，能量也同时释放出来。 伴随弹性变形而储存的能量称为弹性变形能。 一、简单应力状态下的弹性变形能 A l F △l △l F △l F 拉力：0→F 变形：0→△l A l F △l △l F △l F 拉力：0→F 变形：0→△l 外力F在变形△l上所做的功 在数值上等于斜直线下的面积。 F 杆端下降，载荷所损失的位能在数值上等于它所做的功，据能量守恒定理，杆件所获得的变形能等于载荷所损失的位能，这样，拉杆所获得的弹性变形能在数值上等于载荷所做的功。 拉杆的弹性变形能 变力功 A l F △l 拉伸过程中，各点的应力状态是一样的，都属于单向应力状态。 F 拉杆的弹性变形能 任何一点的单位体积所储存的弹性变形能应是一样的。 单位体积所储存的弹性变形能： 应变能密度（比能） 换成应力表达式： 单向应力状态下的应变能密度： 二、三向应力状态下的应变能密度 变形能不能用叠加法 三向等值应力状态形状不变, 只有体积的改变。 一般的应力状态，既有体积的改变， 又有形状的改变。 ? 回顾: 纯剪应力状态体积不改变， 只有形状的改变。 单元体的变形一方面表现在体积的增减， 另一方面表现在形状的改变。 应变能密度（比能）就是由两部分所组成 ＋ = (a)单元体：三向等值应力状态，形状不变,只有体积的改变。 此时，应变能只用来改变体积。 此时，应变能只用来改变形状。 (b)单元体： 无体积改变，只有形状的改变。 ＋ = 本章完 ●应力圆的应用： D1(σx,?x) σ ? o D2(σy,?y) ?x σx ?y σy ?=0 C A B ③求单元体的主平面位置（主方向）? 所以A、B两点在单元体上所对应的两个面就是主平面。 A、B两点所对应的正应力为该点处的主应力。 测量出2?0的大小可得主方向?0= 。 由基准转到A点得一个主平面 ●应力圆的应用： ④画主单元体 主方向?0已测量出，在单元体上同方向转?0即可。 ?=0 D1(σx,?x) σ ? o D2(σy,?y) ?x σx ?y σy ?=0 C A B ●从应力圆分析主应力和主方向的计算公式： A、B两点所对应的正应力为该点处的主应力，也是该点处所有? 斜截面上正应力的最大值及最小值。