离散数学(第2.2-2.3)陈瑜解析.ppt

计算机科学与工程学院 陈瑜 Email：chenyu.inbox@ * §2.2　谓词公式与解释 同命题演算一样，在谓词逻辑中也同样包含命题变元和命题联结词，为了能够进行演绎和推理，为了对谓词逻辑中关于谓词的表达式加以形式化，利用联结词、谓词与量词构成命题函数，因此我们必须引入公式的概念。 四类符号 四类符号 四类符号 四类符号 四类符号 一、谓词的合适公式 一、谓词的合适公式 例2.2： (P(x)→(Q(x,y)∨～R(x,a,f(z)))) (P(x)∨R(y)) (?x)(P(x)) 等都是公式。 而 (?x)(P(x)→R(x) (?x)∨P(x)(?y) 等则不是公式，前者括号不匹配，后者量词无辖域。 二、公式的解释 二、公式的解释 含有量词的公式的解释 对于含有量词的公式的解释，需要根据量词的逻辑意义来决定公式的值。 设论域 D={a1,a2, …，an} 1)（?x)P(x) ? P(a1) ∧ P(a2) ∧…∧P(an) 表示公式（?x)P(x)值为1“当且仅当”对论 域D中每个元素a， P(a)的值为1。 2)（?x)P(x) ? P(a1) ∨ P(a2) ∨…∨P(an) 表示公式（?x)P(x)值为0“当且仅当”对论域 D中每个元素a， P(a)的值为0。 含有量词的公式的解释 对于含有量词的公式的解释，需要根据量词的逻辑意义来决定公式的值。 设论域 D={a1,a2, …，an} 1)（?x)P(x) ? P(a1) ∧ P(a2) ∧…∧P(an) 表示公式（?x)P(x)值为1“当且仅当”对论 域D中每个元素a， P(a)的值为1。 2)（?x)P(x) ? P(a1) ∨ P(a2) ∨…∨P(an) 表示公式（?x)P(x)值为0“当且仅当”对论域 D中每个元素a， P(a)的值为0。 含有量词的公式的解释 对于含有量词的公式的解释，需要根据量词的逻辑意义来决定公式的值。 设论域 D={a1,a2, …，an} 1)（?x)P(x) ? P(a1) ∧ P(a2) ∧…∧P(an) 表示公式（?x)P(x)值为1“当且仅当”对论 域D中每个元素a， P(a)的值为1。 2)（?x)P(x) ? P(a1) ∨ P(a2) ∨…∨P(an) 表示公式（?x)P(x)值为0“当且仅当”对论域 D中每个元素a， P(a)的值为0。 例2.3 设公式：(?x)(?y)(P(x,y)→Q(x,y))。在如下给定的解释下,判断该公式的真值。 例2.3 设公式：(?x)(?y)(P(x,y)→Q(x,y))。在如下给定的解释下,判断该公式的真值。 例2.3 设公式：(?x)(?y)(P(x,y)→Q(x,y))。在如下给定的解释下,判断该公式的真值。 例2.3 设公式：(?x)(?y)(P(x,y)→Q(x,y))。在如下给定的解释下,判断该公式的真值。 例2.3（续1） 2) 解释I为： ①个体域为N； ②P(x,y)指定为：“xy＝0”； ③Q(x,y)指定为：“x＝y”； 则原公式的真值为“假”。 因对任意的x≠0,当y＝0时，有P(x,y)→Q(x,y)为 “假”，即有：(?y)(P(x,y)→Q(x,y))为“假”。而对x＝0，当y≥1时，有P(x,y)→Q(x,y)为“假”。即有： (?y)(p(x,y)→Q(x,y))为“假”。 所以，对任意x∈N,都有： (?y)(P(x,y)→Q(x,y))为“假”。 即有：(?x)(?y)(P(x,y)→Q(x,y))为“假”。 例2.3（续1） 2) 解释I为： ①个体域为N； ②P(x,y)指定为：“xy＝0”； ③Q(x,y)指定为：“x＝y”； 则原公式的真值为“假”。 因对任意的x≠0,当y＝0时，有P(x,y)→Q(x,y)为 “假”，即有：(?y)(P(x,y)→Q(x,y))为“假”。而对x＝0，当y≥1时，有P(x,y)→Q(x,y)为“假”。即有： (?y)(P(x,y)→Q(x,y))为“假”。 所以，对任意x∈N,都有： (?y)(P(x,y)→Q(x,y))为“假”。 即有：(?x)(?y)(P(x,y)→Q(x,y))为“假”。 例2.3（续1） 2) 解释I为： ①个体域为N； ②P(x,y)指定为：“xy＝0”； ③Q(x,y)指定为：“x＝y”； 则原公式的真值为“假”。 因对