1.3.2等比数列的前n项和(北师大版必修5)详解.ppt

3.2 等比数列的前n项和 第一章 数 列 等差数列 等比数列 定义 通项公式 等差（等比）中项 下标和公式 Sn Sn= ？ an－an-1=d(n≥2) (n≥2) an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d an=a1·qn-1(q≠0) an=am·qn-m A= G= 若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 若m+n=p+q,则aman=apaq 问题提出 小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明 第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前 一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍， 試计算30天后两人各得的钱数. 设小林30天得到的钱数T30 设小明30天得到的钱数S 30 引入新课 同学们考虑如何求出这个和？ ≈1073.741万元 这种求和的方法,就是错位相减法! 推导公式 等比数列前n项求和公式 已知： 等比数列 {an}， a1， q， n 求：Sn 解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an qsn= (1-q)Sn=a1-a1q n a1q a1q 2 3 … a1q n-1 =a1+a1q + + + + 作 减 法 若：q≠1 若q=1, Sn= { n a1(1-q ) 1-q (q=1) (q=1) n·a1 ∴ * (一) 用等比定理推导 当 q = 1 时 Sn = n a1 因为 所以 * Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1 = a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 ) = a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an ) Sn = a1 ( 1 – q n ) 1 – q (二）公式推导 于是 等比数列前n项求和公式 通项公式: an=a1? q n-1 等比数列的前n项和例题 解: 例1、（1） 求等比数列 的前10项的和. （2）已知等比数列{an}中，a1=2,q=3,求S3 例2、 五洲电扇厂去年实现利税300万元， 计划在5年中每年比上年利税增长10%， 问从今年起第5年的利税是多少？这5年 的总利税是多少？（结果精确到万元） 等比数列的前n项和例题 练习 1. 根据下列条件，求相应的等比数列 的 2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和. 从第5项到第10项的和: 3. 求等比数列 从第3项到第7项的和. 从第3项到第7项的和: * 2、求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n项和。 1、等比数列1，2，4，8，…从第5项到第10项的和为 或 3、求和： （2） （1） （3）若数列 是等比数列，则 也是等比数列 （4）等比数列{an}的任意等距离的项 构成的数列仍为等比数列 等比数列判定方法： （1）定义法： （2）递推公式法： （3）看通项法： （4）看前n项和法： 例3、 一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以 后的每一分钟里，它上升的高度,都是它在前一分钟 上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？ 解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意， 得 an+1=4/5an 因此，数列{an}是首项a1=25,公比q=4/5的等比数列 热气球在n分时间里上升的总高度 例4、做边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内做内 接正三角形，然后再做新三角形的内切圆.如此下去求 前n个内切圆的面积和. 解 设第n个正三角形的内切圆的半径为rn 从第二个三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个 正三角形边长的1/2，每一个正三角形内切圆的半径也是 前一个正三角形内切圆半径的1/2，故 设前n个内切圆的面积之和为Sn，则： 你能登上 月球吗? 能?! 只要你把你手上 的纸对折38次我就 能沿着它登上月球。 哇… M=1+2+4+8+…+2 （页） 37 列式： 2.灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注意公比q 1.等