应用FDTD方法解决电磁辐射问题绪论.docx

?应用FDTD方法解决电磁辐射问题自电磁场基本方程以来，电磁场理论和应用的发展已经有一百多年的历史。目前，电磁波的研究已深入到各个领域，应用十分广泛，例如无线电波传波，光纤通信和移动通信，雷达技术，微波，天线，电磁成像，地下电磁探测，电磁兼容等等。在各类复杂系统中的电磁问题，主要依靠各种电磁场数值计算方法加以解决。随着电子计算机处理能力和存储容量的巨大发展，更促进了这些计算方法在实际问题中的应用。目前在电磁场领域应用的数值算法也是种类繁多，各有其优缺点，常用的电磁场计算方法大致有：FDTD Finite difference time domain（时域有限差分法）TLM Transmission line method（传输线法）FEM Finite element method（有限元法）BEM Boundary element method（边界元法）MoM Method of moments（矩量法）其中时域有限差分法(FDTD)理论经过30多年的发展和完善，已经成为时域电磁场数值计算的主要方法之一，并广泛应用各类实际工程电磁场中。一、FDTD法简介时域有限差分法以差分原理为基础，直接从概括电磁场普遍规律的麦克斯韦旋度方程出发，将其转换为差分方程组，在一定体积内和一段时间上对连续电磁场的数据采样。因此，它是以电磁场问题的最原始、最本质、最完备的数值模拟。以它为基础制作的计算程序，对广泛的电磁场问题具有通用性，因此得到了广泛的应用。Yee差分算法基本原理考虑空间一个无源区域，其煤质参数不随时间变化且各向同性，由Maxwell方程组中的两个旋度方程在直角坐标系中可导出六个耦合公式：其中为介电常数（F/m）；μ为磁导率（H/m）；σ为电导率（S/m）；ρ为磁阻率（）。按照Yee差分算法，首先在空间建立矩形差分网格，网格节点的空间坐标与一组相应的整数标号一一对应：而该点的任意函数F(x,y,z,t)在时刻的值可以表示为分别为矩形网格沿x，y，z方向的空间步长是时间步长。时域差分法的实质就是将计算问题在时间和空间进行离散:用中心差分取二阶精度：对空间离散：对时间离散：为了获得（1.10）式的精度，并满足（1.3）至（1.8），可将空间任意矩形网格上的E和H的六个分量如图1-1所示放置。图1-1 Yee网格单元及电磁场空间离散点关系每个磁场分量由四个电场分量环绕着；每个电场分量由四个磁场分量所环绕。为获得（1.11）的精度，可将E和H在时间上相差半个步长交替计算。按照这些原则，可将式（1.3）~（1.8）化为差分方程组。以（1.3）式为例，差分后得到（1.12）其余的也可以写出，每个网格点上的个场分量的新值依赖于该点在前一时间步长时刻的值即该点周围临近点上另一场量在早半个时间步长时的值。因此任意时刻可一次算出一个点，并行算法可计算出多个点。通过这些运算可以交替算出电场磁场在各个时间步的值。具体参考[1][2]，这里不多叙述。数值稳定性条件与网格划分数值计算中一个比较重要的问题就是数值解的稳定性问题，这在FDTD方程中取决于网格的空间步长和时间不长的关系。数值稳定性条件以上所建立的麦克斯韦旋度方程的有限差分算式是显式的，时间步长，空间步长必须满足一定关系，否则会使得数值表现不稳定。这种不稳定表现为在解显示差分方程时，随着时间步数的增加，计算结果也无限制的增加。Taflaove等对Yee差分格式稳定性进行讨论，导出了对时间步长的限制性条件：当时，数值稳定条件（12）可简化为一维条件下，这一稳定性条件就简化为：上式可以看出，即要求时间步长不能大于电磁波传播一个空间步长所需的时间，否则，就破坏了电磁波传播的因果关系[12]。如果计算空间中的媒质是不均匀的，那么稳定条件对不同的煤质区域是不同的，我们只需取最大的V满足的条件，在其他区域中也就得到满足了。此时有：其中n为空间维度。网格划分由数值稳定性条件可知，网格划分需要满足一定的条件，在有足够条件的情况下，将网格划分的越细，计算的结果就会越精确。目前有一款交互式软件网格划分软件GEOM，根据设计需要，可自动的用FDTD的方法分析几何结构，产生离散模型。但是计算机计算能力毕竟是有限的，有时候提高一定比例的网格大小，并不一定能够获得更多的精度，同时计算的效率却下降了很多。而且对于一些复杂的模型结构，由于介质层的物理尺寸很小，较大的网格无法覆盖这样的结构，就导致了划分后介质层的缺损。因此需要在满足稳定性条件的前提下对划分的大小进行优化。最好的办法就是采用非均匀网格划分的办法。合理的利用了计算区域内不同的计算需要，对于一些关键位置的地方，如不同介质的交接处，或者是结构细微处，或者是馈源的地方，对网格细化，而在介质均一的位置，则放大网格的大小，使得总的网格数量得到降低。对于非均匀划分方案的确定，也并