线性代数第二章向量与线性方程组d.ppt

第一节 第二节 作业：P66 2.1 （1）（3） 2.2 （1）（3） 第三节 第四节 第五节 作业 2.5 （1）（3） 2.7 定理 推论1 推论2 m个n维向量线性无关的充要条件是它们组成的 推论3 n个n维向量线性无关的充要条件是它们组成的 矩阵行列式不等于零。 定理 矩阵A的秩等于r的充要条件是A中有r个行向量线性 无关，但任意r+1个行向量（如果存在）都线性相关。 求矩阵A的秩 初等变换不改变矩阵的秩 极大线性无关组 设有向量组T，如果在T中能选出 个向量 满足 (1)向量组 线性无关， （2）向量组T中任意 个（如果有的话） 都线性相关，则称 是向量组T的 一个极大线性无关组 向量组中任一向量都可由极大无关组线性表示。 数r称为向量组T的秩。 引理 定理 设有向量组T，如果 （1） 在T中有r个向量 线性无关； （2） T中任意一个向量α都可以由向量组 线性表示。 则 是向量组T的最大无关组。 矩阵的行秩和列秩 矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩，A的列向量 组的秩称为A的列秩。 矩阵的行秩与列秩相等。 矩阵的秩等于矩阵的行秩与列秩。 定理 求向量组 的秩和一个最大线性无关组。 要计算一个向量组的秩，只需把按行或按列摆成矩阵， 然后用初等变换求秩就是。 问题： 如何求得一个向量组的秩的同时，又能求得该向量 组的一个最大无关组？ 根据： 如果只对一个矩阵的行作初等变换，则矩阵的列向量 组（及其任意部分组）的相关性不会改变。 办法： 只需以该向量组为列摆成一个矩阵，再用行的初等 变换化简该矩阵就是。 求向量组 的秩和一个最大线性无关组, 其他向量用此最大无关组 线性表示。 线性方程组解的结构 m个方程， n个未知数 齐次线性方程组 系数矩阵 在A中存在一个不为零的 r 阶子式D，在方程组（1）中包含D的 r 个方程便是方程组（1）的同解方程组。 下面分三种情况讨论： 定理 对齐次线性方程组（1）的系数矩阵的行所作的初等变换是方程组的同解变换。 推论 对一个矩阵的行作初等变换，则矩阵列向量组（及其任意部分组）的相关性不会改变。 （1） 当m≥n，r=n时，不妨设A中的前n行构成的n阶子式D≠0， 此时，方程组（1）与下列方程同解 系数行列式D≠0，由克拉默法则知，该方程组只有唯一 零解。 （2） 当m≥n，rn时，不妨设A中的前r行r列构成的r阶子式 D≠0，此时，方程组（1）与下列方程同解 系数行列式D≠0，由克拉默法则知，该方程组只有唯一 解。但 可取任意常数，因此，方程 组（1）有无穷多解。 （3） 当mn时， 由于R（A）=r≤mn，情况和（2）一样， 方程组有无穷多解。 设齐次线性方程组（1）的未知数的个数为n 定理 例 设有齐次线性方程组 问当λ取何值时，上述方程组 （1）有唯一零解； （2） 有无穷多个解。 解 （1） 当λ≠-1，2时，方程组（*）有唯一零解。 （2） 当λ=-1，和λ=2时，继续讨论 当λ=-1，时，方程组（*）的系数矩阵为 方程组（*）有无穷多个解。 对A施行初等行变换 当λ=2，时，方程组（*）的系数矩阵为 方程组（*）有无穷多个解。 对A施行初等行变换 定义 齐次线性方程组（1）的一个解构成的一个n维列向 量，称为解向量。 性质 若α，β都是齐次线性方程组（1）的解向量，k为常 数，则α+β，kα也都是齐次线性方程组（1）的解 向量。 将齐次线性方程组（1）的全部解向量构成的集合称为解空间。 定义 齐次线性方程组（1）的解集的最大线性无关组叫做 该方程组的基础解系。 设齐次线性方程组（1） 的系数矩阵的秩R（A）=rn。不妨设 A中左上角r阶子式D≠0。将 看成常数，可得 （1）的解。 一般解 如果 分别取 则可以得到方程组（1）的n-r个线性无关的解向量 齐次线性方程组的基础解系和通解 定理 基础解系： 通解 解 对系数矩阵A作初等行变换，变为行最简形矩阵 A 顺次取 代入方程 解 对系数矩阵的行实施初等行变换 非齐次线性方程组 的解的结构 * * * * * * 华南农业大学理学院应用数学系 多媒体教学演示 第一章 矩阵与线性方程 第三章 向量的内积与正交矩真 第五章 二次型 第七章 Matlab 软件的应用 第二章 向量与线性方程组 第六章 线性空间与线性变换 第四章 矩阵的特征与特征向量 第二章 向量与线性方程组 §1 向量的定义及计算 §3 向量与矩阵的秩 §5 非齐次线性方程组解的结构 §2 向量的线性关系 §4 线性方程组解的结构 向