线性代数第五章习题课.ppt

第五章 习题课 考研大纲 考研大纲 考研大纲 １　向量内积的定义及运算规律 ２　向量的长度 ３　向量的夹角 ４　正交向量组的性质 ５　正交矩阵与正交变换 ６　方阵的特征值和特征向量 ７　有关特征值的一些结论 ８　有关特征向量的一些结论 ９　相似矩阵 １０　有关相似矩阵的性质 １１　实对称矩阵的相似矩阵 １２　二次型 １３　二次型的标准形 １４　化二次型为标准形 １５　正定二次型 １６　惯性定理 １７　正定二次型的判定 典　型　例　题 一、证明所给矩阵为正交矩阵 二、将线性无关向量组化为正交单位向量组 三、特征值与特征向量的求法 四、已知　的特征值，求与　相关矩阵的特征值 五、求方阵　的特征多项式 六、关于特征值的其它问题 七、判断方阵　可否对角化 八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵 九、化二次型为标准形 注意 一、证明所给矩阵为正交矩阵 二、将线性无关向量组化为正 　　交单位向量组 三、特征值与特征向量的求法 四、已知　的特征值，求与　 　　相关矩阵的特征值 五、求方阵　的特征多项式 六、关于特征值的其它问题 七、判断方阵　可否对角化 八、利用正交变换将实对称 　　矩阵化为对角阵 九、化二次型为标准形 证明 　　将线性无关向量组化为正交单位向量组，可 以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与 单位化． 解一　先正交化，再单位化 解二　同时进行正交化与单位化 第三步　将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量． 第一步　计算　的特征多项式； 第二步　求出特征多项式的全部根，即得　的全部 特征值； 解　第一步　计算　的特征多项式 第三步　求出　的全部特征向量 解 解 解 方法一 方法二 方法三 解 * ? 2009, Henan Polytechnic University * 第五章 习题课 第四章 向量组的线性相关性 * 基本内容 典型例题 　 考试内容 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质 矩阵的特征值和特征向量的概念及性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质(相似同秩，但同秩未必相似) 矩阵可相似对角化的充分必要条件(存在n个线形无关特征向量)及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵 二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形(只反映特征值的正负个数)和规范形(系数只能是1，-1，0) 用正交变换(系数是特征值)和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性 考试要求 1．了解内积(交换 线形 分配)的概念，掌握线性无关向量组标准规范化的施密特（Schmidt）方法．? 2．了解标准正交基(不是对称阵的特权)、正交矩阵的概念，以及它们的性质． 3．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量． 4．了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法． 5．掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质(n重特征值有n个线形无关的特征向量 不同特征值所对应的特征向量必正交) ． 6．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念(与其矩阵表示同秩)，了解合同变化和合同矩阵的概念 了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理(涉及到正负惯性系数)．? 7．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法(仅此法能判定二次型形状),会用配方法化二次型为标准形．? 8．理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法(定义 秩 与E合同 正惯性系数为零 顺序主子式) ． 定义 定义 向量的长度具有下列性质： 定义 　　所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基． 定理 定义 施密特正交化方法 第一步　正交化 第二步　单位化 定义 　　方阵　为正交矩阵的充分必要条件是　的行 （列）向量都是单位向量，且两两正交． 正交变换的特性在于保持线段的长度不变． 定义　若　为正交矩阵，则线性变换　　　称为 正交变换． 定义 定理 定理 　属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． 定义 　　矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性． 　　　若　与　相似，则　与　的特征多项式 相同，从而　与　的特征值亦相同． 　　(4)　能对角化的充分必要条件是　有　个线 性无关的特征向量． (5)　有 个互异的特征值，则 与对角阵相似． 定义 二次型与它的矩阵是一一对应的． 定义 定义