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第四章 解三角形 第1讲 正弦定理和余弦定理 ★ 知 识 梳理 ★ 内角和定理： 在中，；； 面积公式: = 3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一： 形式二： 4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一： 形式二： ； ； cosC= ★ 重 难 点 突 破 ★ 问题1: 在中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 （ ） A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 点拨：在解三角形中涉及到对边对角问题一般用正弦定理，由正弦值定角的原则是大边对大角。由得，又故有两解 答案B. 在解三角形时要注意充分利用平面几何的性质 问题2: 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积 点拨 :如图连结BD，则有四边形ABCD的面积 S=S△ABD+S△CDB=·AB·ADsinA+·BC·CD·sinC ∵A+C=180°，∴sinA=sinC 故S=(AB·AD+BC·CD)sinA=(2×4+6×4)sinA=16sinA 由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2AB·AD·cosA=20－16cosA 在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC ∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA， ∴64cosA=－32，cosA=－， 又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=8 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素 [例1]的内角，分别是其对边长，向量，，. （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若求的长. 【解题思路】已知对边求对角，直接用正弦定理。 解析:(Ⅰ) =……1分 =……2分 ∵ ……4分 ……6分 ∵……7分 .……8分 (Ⅱ)在中，， ， 由正弦定理知： =. 【名师指引】已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，要注意解可能有多种情况 【新题导练】 1.在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，求c. 解析：由余弦定理得 ()2＝12＋c2－2ccos60°， ∴c2－c－6＝0， 解得c1＝3，c2＝－2(舍去).∴c＝3. 2．若在△ABC中，求△ABC外接圆的半径R. 解析: 题型2判断三角形形状 [例3]在△ABC中，bcosA＝cosB，试判断三角形的形状.判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理[解析]：方法1：利用余弦定理将角化为边. ∵bcosA＝cosB ∴ ∴ ∴ ∴故此三角形是等腰三角形. 方法2：利用正弦定理将边转化为角. ∵bcosA＝cosB 又b＝2RsinB，＝2RsinA∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0 ∴sin（A－B）＝0 ∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π∴A－B＝0，即A＝B B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin（A－B）＝0，∴A＝B 4. 在△ABC中，若，△ABC的形状.( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形 解：由已知及正弦定理得 ∴sin2A=sin2B ∴2A＝2B或2A2B＝π，即AB或AB＝，故△ABC为等腰三角形或直角三角形.的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求： （Ⅰ）的值；（Ⅱ）cotB +cot C的值. 【解题思路】求的值需要消去角和三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系 解析：（Ⅰ）由余弦定理得＝ 故 （Ⅱ）解法一：＝＝ 由正弦定理和（Ⅰ）的结论得　 故 　解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有 　＝ 故 同理可得 从而 5．所对边的长分别为，设向量， , 若,求角B的大小； 解析:∵， ∴ ∴ ∴ ， 6．，又 ∴，即 考点3 与三角形的面积相关的题 题型1:已知条件求面积 例1: (广州执信中学09届高三上学期期中考试)在中，，． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设