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四道导数压轴题解析 例1：已知函数（，）在和处取到极值． （1）求，和的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）求最大的正整数，使得时， ≤与≤同时成立． 例1：解：（1）依题意可知，， 则：，--------------------------------2分 则， ，， ；------------------------------------------4分 （2）由（1）知， 的两个根分别是和2， 令得或，令得 即函数在区间上单调增，在区间上单调减，在区间上单调增，----------------------6分 又，，， 令，得， 其有一个根为，则分解得：，得或；--------8分 令，得， 其有一个根为2，则分解得：，得或；--------10分 则要使得，，，必须满足：；-------12分 又∵为正整数，∴最大为4， 另一方面，， 由于，则要使得，，成立，则 ，即，-------14分 令，则，， 则要使得，，成立，， （此处也可以对最大的正整数，在区间上验证） 综上所述，最大的正整数为4．----------------------------------------17分 例2 已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）是否存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）求证：（，）． 例2：解：（Ⅰ） ，依题意，得， 即，. …2分 ∵ ， ∴ . ……………………3分 （Ⅱ）令，得. …………………………4分 当时，；当时，； 当时，. 又，，，. 因此，当时，. 要使得不等式对于恒成立，则. 所以，存在最小的正整数，使得不等式对于 恒成立. （Ⅲ）方法一： . 又∵ ，∴ ，. ∴ . 综上可得，（，）. ………14分 方法二：由（Ⅱ）知，函数在 [-1，]上是增函数；在[,]上是减函数；在[，1]上是增函数.又，，，. 所以，当x∈[-1，1]时，，即. ∵ ，∈[-1，1]，∴ ，. ∴ .……11分 又∵，∴ ，且函数在上是增函数. ∴ . …………………13分 综上可得，（，）.……………14分 例3：定义在的三个函数f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx, g(x)= ,且g(x)在x=1处取极值。 （I）求a值及h(x)的单调区间； （II）求证：当1x 时，恒有 （III）把h(x)对应的曲线向上平移6个单位后得曲线，求与g(x)对应曲线的交点个数，并说明道理. 例3：解（I）由题意： ∴a=2 …………………………………………… 2分 而所以h(x)在上为增函数，h(x)在上为增函数。………… 4分 （II） 欲证：只需证：，即证： 记 ∴ ∴当x1时，为增函数……………………………….9分 即 ∴结论成立 ………………………………………………………………10分 （III）由 （1）知： ∴对应表达式为 ∴问题转化成求函数 即求方程： 即： 设 ∴当时，为减函数. 当时，为增函数. 而的图象开口向下的抛物线 ∴与的大致图象如图： ∴与的交点个数为2个.即与的交点个数为2个. …………………………………16分 例4：设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；② 函数的导数满足.” （I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由； （II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意 [m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”， 试用这一性质证明：方程只有一个实数根； （III）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的. 解：（1）因为，…………2分 所以满足条件………………3分 又因为当时，，所以方程有实数根0. 所以函数是集合M中的元素.…………4分 （2）假设方程存在两个实数根）， 则，………5分 不妨设，根据题意存在数 使得等式成立，……………………7分 因为，所以， 与已知矛盾，所以方程只有一个实数根；…………9分 （3）不妨设，因为所以为增函数，所以， 又因为，所以函数为减函数，………………10分 所以，…………11分 所以，即…………12分 所以