可积的必要条件.pptVIP

* 一、可积的必要条件 二、可积的充要条件 三 可积条件 三、可积函数类 一、 可积的必要条件 定理9.2 若函数 在 上可积，则 在 上必定有界。 证：（用反证法）。 在 上无界，则对于 的任一分割T，必存在属于T的某个小区间 在 上无界， 在 的各个小区间 上任意取定 并记 若 ，使得： 现对任意大的正数M，由于 在 上无界，故存在 于是有： 这与 在 上可积相矛盾，从而定理得证。 注：任何可积函数一定是有界的，但有界函数却不一定可积。 例1 证明狄理克雷函数 在 上有界但不可积。 证 显然 对于 的任一分割 ，由有理数和无理数在实数中 的稠密性，在属于 的任一小区间 当取 全为有理数时， 当取 全为无理数时， 所以无论 多么小， 只要点集 取法不同， 全取有理数或全取无理数， 积分和有不同极限， 即 在 不可积 二 可积的的充要条件 任给 显然有 Riemann可积的第一充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 其中： xi-1 xi xi-1 xi Riemann可积的第二充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 其中： xi-1 xi Riemann可积的第三充要条件 f(x)在[a,b]上Riemann可积 注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数Riemann可积 xi-1 xi 三、可积函数类