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汕尾市2016届高三学生调研考试 数学（理科）参考答案 一、选择题1A 2B 3D 4B 5C 6A 7D 8D 9A 10A 11C 12A 二、填空题13.2 14.2π 15. 16. 三、 17. 解：（1）因为，由正弦定理得 ，……………………2分 所以,……………………3分 由锐角△ABC得A 所以A=……………………5分 （2）因为△ABC的面积S=……………………6分 由A=可得bc=6, ……………………8分 因为a=3,由余弦定理，得………………10分 所以（b+c）2=b2+c2+2bc=27 因为b,c∈R*，所以……………………12分 18.解： （1）由全市高三学生身高X服从正态分布N（160，），已知P(X150）=0.2 ∴…………………………3分 ∵P(X180)=0.03. ∴……………………………………6分 故从该市高三学生中随机抽取一位学生，该学生身高在区间[170,180)的概率为0.17. （2）…………………………………………………………………………………………7分 ∴服从二项分布B（3,0.6） ∴P(=0)= =0.064 P(=1)= =0.288 P(=2)= =0.432 P(=3)= =0.216……………………………………………10分 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 ……………………………………………11分 E=3×0.6=1.8（人）……………………………………………12分 19.方法一、（1）如图，取PA的中点F，连结BF、EF。 所以在正三角形PAB中， BF⊥PA………………………………2分 ∵E为PD的中点 ∴EF∥AD， 又∵BC∥AD ，BC= ∴EF∥BC且EF=BC……………………………………………4分 ∴四边形BCEF为平行四边形 ∴CE∥BF……………………………………………5分 所以CE⊥PA……………………………………………6分 （2）如图，取AB的中点O，过点O作OG⊥CD交DC的延长线于点G，AB与DC交于点F。 在正三角形PAB中，PO⊥AB, ……………………………………………7分 ∵侧面PAB⊥底面ABCD 侧面PAB∩底面ABCD=AB PO侧面PAB ∴PO⊥底面ABCD………………………………………8分 由DG底面ABCD ∴PO⊥CD 由OG⊥CD PO平面POG OG平面POG PO∩OG=O ∴CD⊥平面POG……………………………………………9分 又∵PG平面POG ∴PG⊥CD……………………………………………10分 所以∠PGO是二面角P—CD—A的平面角. 由AB⊥AD， BC∥AD，且AB=BC==2,△PAB为正三角形 计算可得OG==,PO= 所以PG= 所以COS∠PGO=……………………………………………12分 所以二面角P—CD—A的余弦值为. 方法二.取AB的中点O, 在正三角形PAB中，PO⊥AB,………………1分 ∵侧面PAB⊥底面ABCD 侧面PAB∩底面ABCD=AB PO侧面PAB ∴PO⊥底面ABCD…………………………2分 建立以O为原点，过点O平行于AD所在的方向为X轴，OB所在的方向为Y轴，OP所在的方向为Z轴，如图所示的直角坐标系, 由AB⊥AD， BC∥AD，且AB=BC==2,△PAB为正三角形 可计算 P(0,0, ),A(0,-1,0),C(2,1,0),D(4,-1,0) ………………………………4分 (1)∴E(2, ,),………………………………5分 ∴, 因为, 所以,即CE⊥PA………………………………7分 (2) ∵侧面PAB⊥底面ABCD 侧面PAB∩底面ABCD=AB PO侧面PAB ∴PO⊥底面ABCD ∴是底面ABCD的法向量, ……………………………8分 又∵ 设平面PCD的法向量为,设二面角P—CD—A的大小为 ……………………………10分 令x=1,得y=1，z= ∴ 所以……………………………12分 所以二面角P—CD—A的余弦值为. 20.解：(1)因为抛物线C关于y轴对称， 故可设抛物线标为，可得………………………1分 因为抛物线与直线相切，切点的横坐标为2， 所以解得………………………2分 由抛物线与直线相切，切点的横坐标为2，得切点坐标为（2,1） 代入抛物线方程可得，………………………3分 因此，所求抛物线方程是. ………………………4分 (2)由（1）可得抛物线标准方程为的焦点坐标是（0,1）……………5分 ∵抛物线开口向上，又直线L交抛物线， 故直线L存在斜率，设直线方程为，………………………6分 ∵