江门市2013年12月调研测试理科数学.doc

江门市2014年普通高中高三调研测试 数 学（理科）试 题 本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ⒈已知集合，，则 A． B． C． D． ⒉若复数 是纯虚数（是虚数单位，则实数A． B． C． D． ⒊已知平面向量，，，则实数 A． B． C． D． ⒋已知点，，则线段的垂直平分线的方程是 A． B． C． D． ⒌设、，若，则下列不等式中正确的是 A． B． C． D． ⒍如图1，、分别是正方体中、上的动点（不含端点），则四边形的俯视图可能是 A． B． C． D． ⒎已知函数，则该函数是 A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减 C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减 ⒏平面直角坐标系中，抛物线与函数图象的交点个数为 A． B． C． D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题） ⒐ （填“”或“” ）． ⒑在中，，，，则 ． ⒒若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线方程是 ． ⒓若，满足约束条件，则的值是 ． ⒔若是不重合的平面，、是互不相同的空间直线，则下列命题中为真命题的是 ．（写出所有真命题的序号） ① 若，，则 ② 若，，则 ③ 若，，则 ④ 若，且，，则 (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） ⒕直线和抛物线所围成封闭图形的面积 ． ⒖在数列中，，（），试归纳出这个数列的通项 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分） 已知，． ⑴ 求的最小正周期； ⑵ 设、，，，求的值． ⒘（本小题满分13分） 如图，直三棱柱中，，，棱，、分别是、的中点． ⑴ 求证：平面； ⑵ 求直线与所成角的弦值． ⒙（本小题满分13分） 药液，的桶中盛满纯药液药液升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出升后用水补满，然后第三次倒出升后用水补满．⑴ 求桶药液的； ⑵药液0%，的取值范围； ⑶ 在第⑵问的条件下，第三次稀释后桶中的药液能否达到容积的50%，为什么？⒚（本小题满分14分） 如图，椭圆的中心在坐标原点，过右焦点且垂直于椭圆对称轴的弦的长为3． ⑴ 求椭圆的方程； ⑵ 直线经过点交椭圆于、两点，，求直线的方程． ⒛（本小题满分14分） 已知等比数列（），首项，前项和为，且、、成等差数列． ⑴ 求数列的通项公式； ⑵ 求数列的前项和． 21（本小题满分14分） 已知函数，曲线经过点，且在点处的切线为：． ⑴ 求常数，的值； ⑵ 求证：曲线和直线只有一个公共点； ⑶ 是否存在常数，使得，恒成立？若存在，求常数的取值范围；若不存在，简要说明理由．⒐＞ ⒑ ⒒ ⒓ ⒔②③（对1个3分，错1个分） ⒕ ⒖ 三、解答题 ⒗解：⑴……2分，……4分， 的最小正周期⑵因为，，……6分， 所以，……7分， ，，……8分， 因为，所以，……9分， 所以……10分， ……11分， ……12分。 （或者在第7分之后：……8分， ……9分， 因为，，所以……10分， 所以……11分， 因为，…12分） ⒘证明与求解：⑴，底面 ……1分，，……2分，因为，，所以平面……4分，因为，所以平面⑵（方法一）以C为原点，CA、CB、CC1在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系……6分， 则、、……7分， 、……8分， 、、……9分， 设平面的一个法向为，则……10分， 即，取……11分， 所以……12分，……13分。 （方法二），，……6分，所以，，……7分，由⑴知，，所以平面到，延长到，使，连接、……9分，在中，，，……10分， ……11分， 是平面的法向量，由所作知，从而，所以……13分。 其他方法，例如将直三棱柱⒙解：⑴第一次稀释后桶药液（升）……2分 ⑵第2次倒出后桶中剩余农药升……3分，依题意 ……5分，即……6分， 解得……7分，又，所以……8分。 ⑵不能达到……9分，再次倒出10升后用水补满，桶中的农药……10分，因为， 所以……12分， 答：（略）……13分。