理科数学 第二章第二节.ppt

考点五 求函数的最值 (2)(法一)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝ 0恒成立?x2＋2x＋a0恒成立． 设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)． ∵y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)内递增， ∴当x＝1时，ymin＝3＋a，当且仅当ymin＝3＋a0时，函数f(x)0恒成立，∴a－3. (法二)f(x)＝x＋ ＋2，x∈[1，＋∞)． 当a≥0时，函数f(x)的值恒为正； 当a0时，函数f(x)递增，故当x＝1时，f(x)min＝3＋a， 当且仅当f(x)min＝3＋a0时，函数f(x)0恒成立，故a－3. 变式探究 5．(2012·肇庆市二模 )已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x) (　　) A．有最小值－1，最大值1 B．有最大值1，无最小值 C．有最小值－1，无最大值 D．有最大值－1，无最小值 解析：画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|g(x)，故h(x)＝－g(x)．综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．故选C. 答案：C 课时升华 1．在讨论函数的单调性或求单调区间时应注意： (1)先求定义域，单调区间是定义域的子集． (2)在多个单调区间之间不一定能添加符号“∪”和“或”． (3)单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示． (4)要注意函数单调性与奇偶性的逆用(如比较大小，解不等式，求参数范围)． 2．确定函数的单调性或单调区间的常用方法与技巧． (1)在解答题中常用定义法、导数法． (2)在选择题和填空题中还可用数形结合法、特殊值法等，特别要注意y＝ax＋ (a0，b0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(－∞，－ ]，[ ，＋∞)，减区间为[－ ，0)，(0, ]. 3．一些有用的结论． 在公共定义域内： (1)增函数f(x)＋增函数g(x)是增函数； (2)减函数f(x)＋减函数g(x)是减函数； (3)增函数f(x)－减函数g(x)是增函数； (4)减函数f(x)－增函数g(x)是减函数． 4．求函数值域(最值)的各种方法． (1)直接法：利用常见函数的值域来求． ①一次函数y＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域为R； ②反比例函数y＝(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}； (3)导数法：就是利用导数这一工具来求函数的值域，几乎所有具体函数都可以用导数法来求值域(或最值)． (4)换元法：通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型． 注意：利用换元法求值域与最值时，必须注意换元后要转变变量的取值范围，因为定义域是值域的基础． (5)函数有界性法：直接求函数的值域较困难时，可以利用已学过函数的有界性来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性(如正、余弦函数均为有界函数，即|sin x|≤1，|cos x|≤1)． (9)不等式法：利用基本不等式a＋b≥2(a，b∈R＋)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积的形式时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧． 注意：利用均值不等式求值域与最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，特别是等号成立的条件容易被忽视． 求函数的定义域、值域时，要按要求写成集合形式或区间形式． 5．求最值时应注意的问题． (1)求函数最值的方法，实质上与求函数值域的方法类似，只是答题方式有差异． (2)无论用何种方法求最值，都要考虑“＝”能否成立． 注意：函数的值域与函数的最值从概念上看是不同的，函数值域的边界值并非是函数的最值；写函数值域时要注意其边界值(最值)是否能够取到，取到用闭区间，取不到则用开区间；函数值域的几何意义是对应函数图象上纵坐标的变化范围，故有时可结合函数图象分析值域．同时要注意函数图象的端点值是否能够取到，其图象上是实心点还是空心点，作图要准确． 第二节　函数的单调性与最大(小)值 第二章　函数、导数及其应用 考 纲 要 求 1．理解函数的单调性以及几何意义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质． 3．会求一些简单函数的值域． 4．理解函数的最大值、最小值以及几何意义. 课 前 自 修 知识梳理 一、函数单调性的定义 1．对于函数f(x)的定义域I内某个区间D上自变量的任意