数学1.1.2《余弦定理》课件(新人教版A必修5).ppt

若A为锐角时: * * * 1.1.2余弦定理 复习回顾 正弦定理： 可以解决两类有关三角形的问题? （1）已知两角和任一边。 （2）已知两边和一边的对角。 变型： 若A为直角或钝角时: 问题： 隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程 技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山 脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即 线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。 已知：AB、 AC、角Ａ　　　 (两条边、一个夹角) 研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，BC=a，CA=b, ∵ 即： 由此可得：余弦定理 　　三角形任一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 应用：已知两边和一个夹角，求第三边． 隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程 技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山 脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即 线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。 已测的：ＡＢ＝１千米， 　　　　AＣ＝ 千米 　　　　角Ａ＝６０Ｏ 求山脚ＢＣ的长度． 解： 余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即： 由余弦定理变型得： 应用：已知三条边求角度． 余弦定理及其推论的基本作用是什么？ 思考3： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就 可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角. 勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？ 思考4： 勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？ 思考4： 余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例. 利用余弦定理，可以解决： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边及夹角，求第三边和 其他两个角. A B C a b c c2=a2＋b2－2abcosC. a2＋b2－c2 2ab cosC＝ 例 1：在?ABC中，已知a＝7，b＝10， c＝6，求A、B和C. 解： b2＋c2－a2 2bc ∵ cosA＝ ＝0.725， ∴ A≈44° a2＋b2－c2 2ab ∵ cosC＝ ＝0.8071， ∴ C≈36°, ∴ B＝180°－(A＋C)≈100°. ∵sinC＝ ≈0.5954, ∴ C ≈ 36°或144°(舍). c sinA a ( ) 例 2：在?ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696， C＝82°28′，解这个三角形. 解： 由 c2=a2＋b2－2abcosC, 得 c≈4.297. b2＋c2－a2 2bc ∵ cosA＝ ≈0.7767， ∴ A≈39°2′, ∴ B＝180°－(A＋C)＝58°30′. a sinC c ∵sinA＝ ≈0.6299， ∴ A=39°或141°(舍). ( ) A B C O x y 例 3：?ABC三个顶点坐标为(6，5)、 (－2，8)、(4，1)，求A. 解法一： ∵ AB ＝√[6-(-2)]2+(5-8)2 =√73 , BC ＝√(-2-4)2+(8-1)2 =√85 , AC ＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5 , cosA＝ ＝ , 2 AB AC AB 2＋ AC 2－ BC 2 2 √365 ∴ ∴ A≈84°. A B C O x y 例 3：?ABC三个顶点坐标为(6，5)、 (–2，8)、(4，1)，求A. 解法二： ∴ A≈84°. ∴ cosA＝ ＝ ＝ . AB·AC AB AC (– 8)×(– 2)＋3×(– 4) √73·2√5 2 √365 ∵ AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4). A B C O x y 例 3：?ABC三个顶点坐标为(6，5)、 (–2，8)、(4，1)，求A. α