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直线回归 直线回归 举例说明回归背景问题 通过例子导出直线回归的意义 简述正态分布的性质 由此导出直线回归分析对资料的要求 简述直线回归的回归系数检验 直线回归的预测值及其95%可信区间 标准曲线制作中的直线回归问题 直线回归分析小结 思考题 直线回归掌握的要点 直线回归方程(总体)是描述什么？ 直线回归分析对资料有什么要求？ 直线回归分析的具体基本步骤是什么？ 在直线回归中，Y是否一定为随机变量？ 在直线回归中，X是否一定为随机变量？ 在直线回归中，预测值 的意义是什么？ 在直线回归中，回归系数b的意义是什么？ 举例 例 为了研究3岁至8岁男孩人群平均身高(cm)与年龄(year)的规律，在某地区在3岁至8岁男孩中随机抽样，共分6个年龄层抽样：3岁，4岁，…，8岁，每个层抽3名男孩，共抽18名男孩。资料如下： 本例的研究目的和实现方法 研究目的：了解年龄与儿童人群的平均身高对应关系。 方法1：可以做普查，得到每个年龄组所有儿童的身高，并且计算每个年龄组的儿童人群的平均身高。 方法2：作抽样调查，本例就是通过按年龄组分层抽样调查，获得样本后用回归分析的方法得到每个年龄组儿童人群的平均身高估计值和相应的统计推断。 儿童身高的分布特征 一般而言，儿童身高满足 同一年龄x的儿童身高y近似服从正态分布，因此对于每个年龄x，均有一个身高y的总体均数 。 不同年龄x的儿童身高分别近似服从对应不同身高总体均数 的正态分布。 身高的总体均数 是年龄x的一个函数 画散点图考查身高与年龄的分布关系 画散点图考查身高总体均数与年龄的关系 年龄组的身高样本均数与年龄的散点图 由散点图确定身高总体均数与年龄可能是直线关系 年龄组的身高样本均数与年龄的散点图显示年龄组的身高样本均数与年龄几乎在一条直线上，略有些偏离直线的点可以理解为样本均数的抽样误差所致，因此可以假定固定年龄的身高总体均数 与年龄x的关系可能是直线关系，即假定： 并且称上述直线方程为(总体)回归方程。 回归方程 回归方程中?，?为未知参数，需要用样本资料通过拟合曲线后得到其估计值，并分别记为a和b，相应得到样本估计的回归方程 通常称 为Y的预测值，其意义为固定x，Y的总体均数 的估计值。 Y与x的直线回归关系 由总体回归方程 可知：当?=0时， 。即：对于x的任何值，总体均数 没有任何改变，因此建立Y与x的直线回归方程就没有任何意义了，所以称? ?0时， Y与x 之间存在直线回归关系，反之? ＝0 Y与x 之间称不存在直线回归关系。 正态分布性质简述 回归模型 根据上述性质，应用到本例的实际问题： 固定年龄X，身高Y服从总体均数为 ,方差为?2的正态分布 。 2. 由散点图可以假定总体均数 3. 故 4. 令 ， 5. 即： ,并称为直线回归模型。 误差?与残差 直线回归原理示意图 直线回归系数的估计 用最小二乘法拟合直线，选择a和b使其残差（样本点到直线的垂直距离)平方和达到最小。即:使下列的SSE达到最小值。 由此得到 回归系数估计的另一种表达式 回归系数的意义 由总体回归方程可知 回归系数?表示：x增加一个单位，总体均数 增加?个单位 由于 是 的估计表达式 ，所以(样本）回归系数b表示x增加一个单位，样本观察值y平均增加b个单位。 回归系数?假设检验的必要性 由于样本回归系数b与总体回归系数?存在抽样误差，即：一般情况下， b ??，因此需要考虑抽样误差对统计推断是否存在重大影响。 由于 ? ＝0时， ，Y与x之间不存在直线回归关系，因此?是否为0，涉及到所建立的回归方程是否有意义的重大问题，然而即使? ＝0，样本回归系数b一般不为0，因此需要对回归系数?是否等于0进行假设检验。 回归系数的假设检验 H0：?=0 vs H1： ? ?0 ?=0.05 回归系数的标准误为 其中s为残差的标准差 则回归系数的检验统计量为 回归系数的假设检验 残差的标准差s还可以表示为 可以证明：H0：?=0 成立时，检验统计