数学建模讲义(电子科技大学_徐全智_)课件.ppt

设随机变量X的概率密度函数为f(x)，存在 实数 ab，使 P{aXb}=1， 算法步骤： (1) 选取常数λ，使λf(x)＜1，x∈(a, b)； (2) 产生两个RND 随机数r1 、r2，令 y= a＋(b－a)ri ； (3) 若 r2≤λf(y)，则令x=y, 否则剔除 r1和r2, 重返步骤(2). 重复循环, 产生的随机数x1，x2，…，xN的 分布由概率函数 f(x) 确定. 舍选法算法原理分析 注 可选取有限区间(a1,,,,b1)，使得 ε是很小的正数. 例如取 a1=μ－3σ,b1=μ＋3σ，有 在区间(a1, b1)上应用舍选法,不会出现较大 的系统误差. 3．正态随机数的模拟 产生正态分布 随机数的方法 反函数法 舍选法 坐标变换法 中心极限定理 1）坐标变换法 设r1，r2 是RND随机数，令 则 x1, x2是相互独立的标准正态分布的随机数. 概率讲义中有证明 2）利用中心极限定理 产生服从N(μ,σ2)的算法步骤： 产生n 个RND 随机数：r1，r2，…，rn， 一般 n≥10 若取n=12，简化为计算 x 是服从标准正态分布的随机数 (3) 计算 y=σx+μ. y 是服从 N(μ,σ2) 分布的随机数. 原理分析 设ζ1，ζ2，…，ζn是n个相互独立的随机变量,且ζi～U(0,1), i= 1,2, …,n, 由中心极限定理知 渐近服从正态分布N(0, l ). 7.3 蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗(Monte－Carlo)模拟，又称蒙特卡 罗方法、统计试验法等. M－C模拟是静态模拟，描述特定时间点上的系统行为。 模拟过程中不出现时间参数。 基本思想:把随机事件 （变量）的概率特征与 数学分析的解联系起来. 概率特征：随机事件的概率和随机变量的 数学期望等。 用试验方法确定 一. 蒙特卡罗法计算定积分 例7.3.1 用M－C 模拟求圆周率π的估计值。 设二维随机变量 (X, Y)在正方形内服从均匀分布. (X, Y)落在圆内的 概率为: 1 1 0 P｛X2+Y2≤1}= 计算机上做n次掷点试验： 产生n 对二维随机点(xi，yi) ，i＝1 ,2, …, n . 若有k 个点落在l／4圆内 其中，xi 和yi 是RND 随机数对. 相当于第i个随机点落在1/4圆内. 检查每对数是否满足: x2i+y2i≤1 随机事件“点落入1/4圆内”的 频率为 k/n 。 根据概率论中的大数定律，事件发生的频率依 概率收敛于事件发生的概率p，即有 得圆周率π的估计值为 =4k/n 且当试验次数足够大时，其精度也随之提高。 分析：实际上概率值为 恰为1/4圆的面积 频率法： 利用随机变量落进指定区域内的频率来计算定积分。 平均值法： 利用随机变量的平均值（数学期望 ) 来计算定积分。 一.利用理论分布 重点阐述怎样根据变量特点合理选择理论分 布来模拟随机变量. 1．均匀分布 需掌握几种重要的概率理论分布 均匀分布随机变量X的取值具有“均匀性”. 均匀性特点 均匀分布随机变量X 落在(a, b) 内任意子区间的概率只与子区间的长度有关,而 与子区间的位置无关. 可以假设具有这种性质的随机变量服从均匀分布 例7.1.2 穿越公路模型 穿越公路者在60 秒的期间内的每一时刻都可 能到达公路旁,用[0, 60](单位:秒)上的均匀分布随机变量模拟穿越公路者到达路旁的时刻是合理的. 渡口模型中假设车身长度服从均匀分布, 处 理起来虽然较简单但却显然不合理. 2．正态分布 正态分布随机变量X的概率密度函数是 正态分布由两个参数μ和σ唯一确定： μ 0 x f(x) f(x) 0 x μ σ小 σ大 位置参数 分布特点： 有3σ—原则： 实用判别方法: 较多独立的、微小变量叠加而成的随机变量,可以用正态分布来模拟. 判别方法原理分析 例　*考试成绩服从正态分布； *单峰、对称； *数学期望μ确定概率曲线的中心位置； *标准差σ确定概率曲线的“宽窄”程度. *　测试误差服从正态分布； * 人的身高服从正态分布；… 3．指数分布 指数分布随机变量X的概率密度函数为 ０ f(x) x 寿命T则服从参数为λ的指数分布. 　 上述