高一第三章数列3.5.docxVIP

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高一第三章数列3.5

教案示例课题:等比数列前 项和的公式  教学目标  (1)通过教学使学生掌握等比数列前 项和公式的推导过程,并能初步运用这一方法求一些数列的前 项和.  (2)通过公式的推导过程,培养学生猜想、分析、综合能力,提高学生的数学素质.  (3)通过教学进一步渗透从特殊到一般,再从一般到特殊的辩证观点,培养学生严谨的学习态度.  教学重点,难点  教学重点是公式的推导及运用,难点是公式推导的思路.  教学用具  幻灯片,课件,电脑.  教学方法  引导发现法.  教学过程  一、新课引入:  (问题见教材第129页)提出问题: (幻灯片)  二、新课讲解:  记 ,式中有64项,后项与前项的比为公比2,当每一项都乘以2后,中间有62项是对应相等的,作差可以相互抵消.  (板书)即 , ①       , ②  ②-①得 即 .  由此对于一般的等比数列,其前 项和 ,如何化简?  (板书)等比数列前 项和公式  仿照公比为2的等比数列求和方法,等式两边应同乘以等比数列的公比 ,即  (板书)  ③两端同乘以 ,得       ④,  ③-④得 ⑤,(提问学生如何处理,适时提醒学生注意 的取值)  当 时,由③可得 (不必导出④,但当时设想不到)  当 时,由⑤得 .  于是  反思推导求和公式的方法——错位相减法,可以求形如 的数列的和,其中 为等差数列, 为等比数列.  (板书)例题:求和: .  设 ,其中 为等差数列, 为等比数列,公比为 ,利用错位相减法求和.  解: ,  两端同乘以 ,得  ,  两式相减得  于是 .  说明:错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.  公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.  三、小结:  1.等比数列前 项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用;  2.用错位相减法求一些数列的前 项和.  四、作业:略.教案点评:  教学设计中,教师特别注重组织学生开展活动,让学生的兴趣在了解深究任务中产生,让学生的思考在分析真实数据中形成,让学生的理解在集体讨论中加深,让学生的学习在合作探究活动中进行.当然在活动过程前后的独立思考以及在此基础上的集体讨论,也属于探索活动的有机组成部分,经过独立思考,多种多样的方案、不同的推测结论、各具特色的陈述理由,才会形成集体讨论,才会热烈而富有启发性.典型例题产值的增长问题  例1、某工厂去年的产值是100万元,计划今后3年内一年比一年产值增长 ,从今年起的第三年,这个工厂的年产值是_______万年.这三年的总产值是_______万元.(精确到万元)  分析:如果原产值是 ,增长后的产值为 ,那么从 增长到 的增长率 ,并且 .这是处理有关增长率问题的基本知识.  解:设去年的产值为 万元,今年的产值以及以后各年的产值依次为 万元, 万元……由于 ,故数列 是等比数列,则第三年该厂的年产值为   (万元)  这三年的总产值为              (万元)  小结:本题属于各年增长率都相同的问题,对于各年增长率不同的问题,要注意平均增长率与增长率的平均值是两个完全不同的概念.错位相减求和  例1、求和: .  分析:当 时, 是由数列 与数列 的相应的项相乘而来的,所以用错位相减法来求和.  解:当 时,;  当 时,,①  左右两边分别乘以 得:,②  ①、②相减得:    于是 .  小结:求和问题要分析数列的项的结构,当通项是一个等差数列与等比数列的乘积时,用错位相减法求和,此时要注意等比数列的公比是否为1(用字母表示公比时).等比数列和的性质  例1、已知 是等比数列 的前 项和,且有 求 的值.  分析:由两个方程不能求出确定的 ,只能得到一个关系,所以应采用整体代入的方法.  解:设等比数列的首项为 ,公比为 , 由 可知 ,故   两式相除得 ,即 .  于是有   ?    ?  小结:本题强调的是基本量思想与整体思想,整体思想往往是设而不求,整体替换.也可以考虑数列 特点,这三个数成等比数列,可以直接得到结论.等比数列性质求和  例1 、已知等比数列 中,前10项和 ,前20项的和 ,求前30项的和 .  分析:一种直接利用等比数列前 项求和公式,建立关于 、 的方程组;另一种方法.注意到:“等比数列 中, , , 仍成等比数列”这一重要性质,可迅速求解.  解:法一? 设公比为 ,则有     ,得 ,                   法二 由等比数列性质,知   , , 仍成等比数列.  ,  ,  即  ,.  故   .  小结:这类问题的一般解法是建立首项 ,和公比 的方程组求解.解1中,没有必要求出 ,这种设而不求的策略,是数学解题中比较常见的.解2则妙用性质,简化了解题过程.  选题角度:产

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