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第二章刚体力学-1
例10: 转台绕过质心的铅直轴转动,初角速度为?0 ,转台对此轴的转动惯量 J=5×10-5kg·m2,今有砂粒以每秒1g速率垂直落在转台上,砂粒落点距轴 r =0.1m,求:砂粒落在转台上使转台角速度减为?0/2 所需时间? 解: 取转台和落下的砂粒为系统 守恒 (32) t 时刻落下的砂粒质量: m=0.001t [kg/s] 方向与 方向相同 dt 时间内轴OO 转过 d? 角 进动(Precession)(又叫旋进): 高速自旋的物体的转轴在空间转动的现象称为进动。 (33) 对O点的重力矩: M=mgr 角动量定理: 进动的角速度: O ? mg O (俯视图) d? ?p 设自旋刚体对O点的角动量为L, 就是对本身对称轴OO?的角动量。 *2.3.3 回转仪(gyroscope) 为什么炮筒内壁上刻有螺旋线(又称来复线)? (34) §2.4 刚体定轴转动的功和能 (Work and energy of a rigid body about a fixed-axis rotation) 2.4.1 力矩的功 2.4.2 定轴转动刚体的机械能 2.4.3 定轴转动刚体的动能定理 (35) ?1??2过程中Fi对刚体所作的功: 力矩的瞬时功率P: (36) 2.4.1 力矩的功(Work of moment of force) 外力Fi对刚体所做的元功: 所有外力对刚体的功: 力对刚体所做的功可用力矩与刚体角位移乘积的积分 表示, 称为力矩的功。 z 轴 P 设Fi为作用在刚体上P点处的外力 2.4.2 定轴转动刚体的机械能 (Mechanical energy of a rigid body about a fixed-axis rotation) 刚体转动动能就是组成刚体的各质点平动动能之和 (37) ?m1 ?m2 … ?mi … r1 r2 … ri … v1=r1? v2=r2? … vi=ri? … 1.刚体的转动动能 2.刚体的重力势能 各质元重力势能的总和, 就是刚体的重力势能。 刚体的重力势能等于其质量集中在质心时所具有的重力势能。 c hc hi ?mi Ep=0 ? (38) 刚体定轴转动动能定理 (39) 2.4.3 定轴转动刚体的动能定理 (Theorem of kinetic energy of a rigid body about a fixed-axis rotation) 二边积分 意义:合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的 功等于刚体转动动能的增量。 1.动能定理 2.定轴转动的功能原理 质点系功能原理对刚体仍成立: 若系统是一个包含刚体、质点、弹簧等复杂系统时, 3.机械能守恒定律 对于包括刚体在内的系统, 若只有保守内力作功 则系统机械能守恒: (40) 包括系统中所有物体相对于惯性系的动能。 Ep 应包括系统中所有物体的势能。 例11: 一匀质细棒长为l ,质量为m,可绕通过其端点O的水平轴转动,如图。当棒从水平位置自由释放后,它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m, 它与地面的摩擦系数为? , 相撞后, 物体沿地面滑行一距离s而停止; 求:相撞后棒的质心C离地面的最大高度h,并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。 解:可分为三个阶段。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时机械能守恒。把棒在竖直位置时质心所在处取为势能零点, 用?表示棒这时的角速度, 则 C O (41) 第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短,冲力极大,物体虽受到地面的摩擦力,但可以忽略。棒与物体相撞时,它们组成的系统对O轴的角动量守恒。用v表示物体碰撞后的速度, 则 式中?为棒在碰撞后的角速度,它可正可负。?取正 值, 表示碰后棒向左摆; 反之, 表示向右摆。 第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动, 加速度由牛顿第二定律求得为 由匀减速直线运动的公式得 (42) 当?取负值,棒向右摆,其条件: 当?取正值,棒向左摆,其条件: 棒的质心C上升的最大高度h,与第一阶段情况相似,也可由机械能守恒定律求得: (43) * 第二章作业: 1、5、10、11、15、16、18、24 共8题 第二章 刚体( rigid body) §2.1 刚体的定轴转动 §2.2 刚体定轴转动定律及其应用 §2.3 对定轴转动的角动量守恒 §2.4 刚
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