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数学建模专题
——柏庆国
中国古代马鞍
数学建模
马克思说:
任何一门学科只有运用了数 学 才能称为科学 。
数学建模
对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的,根据特有的内在规律,做出一些必要的简化假设,运用恰当的数学工具,得到一个数学结构。
模型分类
占绝对优势的模型可以归为三类:
最优化模型
动态模型
概率模型
数学建模
例1 常山机器厂生产1、2两种产品,这两种产品都要分别在A、B、C三种不同的设备上加工,按工艺资料规定,生产每件产品1需要占用设备分别为2h、4h、0h;生产每件产品2,需要占用设备分别为2h、0h、5h。已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12h、16h、15h;又知每生产一件产品1 企业能获得2元利润,每产一件产品2 企业能获得3元利润。
问:该企业应安排生产两种产品个多少件使总的利润最大?
模型求解
例2:货物打折的存贮模型
某生产商为销售产品,对于前来采购的商店采取打折优惠活动
试对此商店的库存与销售情况,建立数学模型
模型分析:商店首先要采购一定数量的此种物品,将其放在仓库中,而具体一段时间内采购多少,主要取决于这时期内销售多少。因此我们可对某种物品的需求量划分若干个时期,在同一时期内需求是常数,但在不同时期内需求是变化的。另外商家到生产上订货时,还需考虑不同时期生产上给出的优惠是不同的。因此建立数学模型的目的就是制定最有存贮策略,即多长时间订一次货,每次订多少货,使总的费用最少。
什么方法才是好的?
很强的理论结果, 漂亮的证明 ?
不管白猫黑猫,
抓住老鼠就是好猫!
模型求解
提出问题
选择建模方法
推导模型的数学表达式
求解模型
回答问题
我们所讲的模型
离散模型
1.整数规划模型
2.图优化模型
3.不规则离散优化模型
4.离散概率模型
所属学科:计算机、运筹学与控制论、概率的交叉学科
一、整数规划
1、整数规划的数学模型
2、整数规划解法
3、0-1整数规划
4、指派问题及解法
1. 整数规划数学模型
在许多经济管理的实际问题中,决策变量只有非负整数才有实际意义。对求整数最优解的问题,称为整数规划。又称约束条件和函数均为线性的IP为整数线性规划。
根据变量取整数的情况,将整数规划分为:
(1)纯整数规划,所有变量都取整数.
(2)混合整数规划,一部分取整数,一部分取实数。
(3)0-1整数规划 ,所有变量均取0或1
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1. 整数规划数学模型
例3. 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物,每箱的体积、重量、可获的利润以及托运所受限制如下。问:两种货物各托运多少箱,使利润最大?
货物
体积
重量
利润
甲
乙
5
4
2
5
20
10
托运限制
24
13
1. 整数规划数学模型
2.整数规划的解法
枚举法
分支定界法
割平面法
智能算法
2.整数规划的解法
分支定界法
例:
2.整数规划的解法
分支定界法步骤:
1.寻找替代问题
说明(1)若替代问题无可行解,则原问题无可界,停止;(2)若替代问题有最优解,且符合原问题的整数条件,则替代问题的最优解就是原问题的最优解;(3)若替代问题有最优解,且不符合原问题的条件,则分支。
2.分支
3.定界
4.剪支
2.整数规划的解法
割平面法
思路:不考虑某个变量的整数约束这一条件,但增加线性约束条件(割平面)使得由原可行域中切割掉一部分,这部分只包含非整数解。如此进行使得切割最终的得到这样的可行域,它的一个整数坐标的极点恰好是问题的最优解。
3. 0-1整数规划问题
特征:包含的变量取0或1.
构造0-1整数规划模型所利用的条件
m个约束条件 中只有k起作用。
约束条件的右端项可能是r个值中的某一个,即
3. 两组条件中满足其中一组。
例4 某城市消防总部将全市划分为11个防火区,设有4个消防站,下图中表示了各防火区域与消防站的位置,其中①,②,③,④表示消防站,1,2,3,……,11表示消防区域。根据历史资料证实,各消防站可在事先规定的允许时间内对所负责的地区火灾予以消灭,图中虚线即表示各地区由哪个消防站负责(没有虚线连接就表示不负责),现在总部提出,在同样负责全市消防的前提下,是否可以减少消防站的数目?如果可以,应当关闭哪个?
解:令
对各防火区
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