第三讲单自由度系统的振动(阻尼)分解.ppt

机械振动学 1.阻尼 上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随时间改变的，振动过程将无限地进行下去。 实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼 当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。这种阻尼实际上较多，这里将以此研究。 振动系统中存在粘性阻尼时，经常用阻尼元件c表示。 比例常数c称为粘性阻尼系数 负号表示方向 设振动质点的速度为为v，则粘性阻尼的阻力FC可表示为： 一般的机械振动系统都可以简化为： 由惯性元件（m）、弹性元件（k）、阻尼元件（c）组成的系统。 当以平衡位置O为坐标原点，建立此系统的振动微分方程时可以不再计入重力作用。 （2）粘性阻尼力 ；方向与速度方向相反。 2.振动微分方程 振动过程中作用在物块上的力有： （1） 恢复力 ；方向指向平衡位置O； 根据达朗贝尔原理，质量块的微分方程为： 整理得： 有阻尼自由振动微分方程的标准形式,它是一个二阶齐次常系数线性微分方程 两端除以m，并令： n称为衰减系数 该方程通解为： 其解可设为： 代入（1）式，得到特征方程： 两个特征根为： （1） 特征根 为实数或复数时，运动规律有很大不同，因此下面按nω0，nω0和n=ω0三种不同情形分别进行讨论。 当nω0时， 特征根 为共轭复数，即： 微分方程的解 可以表示为： 3.小阻尼情形 阻尼较小，称为小阻尼情形。 其中：A和φ为两个积分常数，由运动的初始条件确定 或 称有阻尼自由振动的圆频率 ；其中 当初瞬时t=0，质点的坐标为x=x0 速度v= ;可求得有阻尼自由振动中的振幅和相位： 这种振动的振幅是随时间不断衰减的，称为衰减振动。衰减振动的运动图线如图所示。 衰减曲线的包络线 由衰减振动的表达式： 但这种振动仍围绕平衡位置的往复运动，仍具有振动的特点。我们将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需的时间称为衰减振动的周期，记为Td ，如上图所示。 这种振动不符合周期振动 的定义，所以不是周期振动。 ζ称为阻尼比。它是振动系统中反映阻尼特性的重要参数。在小阻尼情形下，ζ1,有阻尼自由振动周期Td、频率fd和圆频率ωd与相应的无阻尼自由振动的T 、f和ω0的关系： 表明：由于阻尼的存在，使系统自由振动的周期增大，频率减小。当空气中的振动系统阻尼比比较小时，可认为： 其中： ωd =ω0 ， Td =T 阻尼对周期的影响 经过一个周期Td，系统到达另一个比前者略小的最大偏离值Ai+1 这两个相邻 振幅之比为: 设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为Ai有: 由衰减振动运动规律： Ae-nt相当于振幅 η称为振幅系数。任意两个相邻振幅之比为一常数，所以衰减振动的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。 Ai+1 Ai 阻尼对振幅的影响 上式表明：对数减缩率δ与阻尼比ζ之间只差2π倍，δ也是反映阻尼特性的一个参数。 δ称为对数减缩系数 两端取自然对数得 由 对数减缩率δ与阻尼比ζ之间的关系为： （ z 21 ） 其中 例 在欠阻尼（z 1）的系统中，在振幅衰减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的两点P、R的幅值之比xP/xR=r，如图所示，试确定此振动系统的阻尼比z。 解：振动衰减曲线的包络线方程为 设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有 当z 21时 此式对估算小阻尼系统的ζ值是很方便的。例如，经过10个周期测得P、R两点的幅值比r=2，将N=10、r=2代入上式，得到该系统的阻尼比： 当n=ω0（ζ=1）时，称为临界阻尼情形。这时系统的阻尼系数用cc称为临界阻尼系数。 在临界阻尼情况下，特征根 为两个相等的实根，即： 得到振动微分方程的解为 其中C1和C2为两个积分常数，由运动的起始条件决定。 上式表明：这时物体的运动是随时间的增长而无限地趋向平衡位置，因此运动已不具有振动的特点。 4.临界阻尼和大阻尼情形 从式 临界情形是从衰减振动过渡到