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一、平面图形的面积 例1. 计算两条抛物线 例2. 计算抛物线 例3. 求椭圆 一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 例4. 求由摆线 2. 极坐标情形 例5. 计算阿基米德螺线 例6. 计算心形线 心形线(外摆线的一种) 例7. 计算心形线 例8. 求双纽线 二、平面曲线的弧长 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: (2) 曲线弧由参数方程给出: (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 例10. 求连续曲线段 例11. 计算摆线 例12. 求阿基米德螺线 三、已知平行截面面积函数的立体体积 特别 , 当考虑连续曲线段 例13. 计算由椭圆 方法2 利用椭圆参数方程 例14. 计算摆线 绕 y 轴旋转而成的体积为 注 说明: 例15. 设 例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 例17. 计算由曲面 例18. 求曲线 四、旋转体的侧面积 (补充) 注意: 例19. 计算圆 例20. 求由星形线 星形线 内容小结 3. 已知平行截面面积函数 A(x) 的立体体积 思考与练习 2. 试用定积分求圆 方法2 用柱壳法 求侧面积 : 作业 备用题 2. 4. 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 解: 垂直 x 轴的截面是椭圆 所围立体(椭球体) 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 的体积. 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. (1994 考研) 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在第一象限 设平面光滑曲线 求 积分后得旋转体的侧面积 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . 取侧面积元素: 侧面积元素 若光滑曲线由参数方程 给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 侧面积为 的线性主部 . 不是薄片侧面积△S x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解: 对曲线弧 应用公式得 当球台高 h ? 2 R 时, 得球的表面积公式 一周所得的旋转体的表面积 S . 解: 利用对称性 绕 x 轴旋转 星形线 星形线 星形线是内摆线的一种. 点击图片任意处 播放开始或暂停 大圆半径 R＝a 小圆半径 参数的几何意义 (当小圆在圆内沿圆周滚动 时, 小圆上的定点的轨迹为内摆线) 1. 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 曲线方程 参数方程方程 极坐标方程 弧微分: 直角坐标方程 上下限按顺时针方向确定 直角坐标方程 注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小 旋转体的体积 绕 x 轴 : 4. 旋转体的侧面积 侧面积元素为 (注意在不同坐标系下 ds 的表达式) 绕 y 轴 : (柱壳法) 1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s . 提示: 交点为 弧线段部分 直线段部分 以 x 为积分变量 , 则要分 两段积分, 故以 y 为积分变量. 绕 x 轴 上 半圆为 下 求体积 : 提示: 方法1 利用对称性 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S . 说明: 上式可变形为 上 半圆为 下 此式反映了环体元素的另一种取法(如图所示). 利用对称性 上式也可写成 上 半圆为 下 它也反映了环面元素的另一种取法: P284 2 (1) , (3) ; 3; 4; 5 (2) , (3) ; 8 (2) ; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30 面积及弧长部分： 体积及表面积部分： P286 13; 14 ; 15 (1), (4) ; 17; 18 补充题: 设有曲线 过原点作其切线 , 求 由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一 周所得到的旋转体的表面积. 第三节 解： 1. 求曲线 所围图形的面积. 显然 面积为 同理其他. 又 故在区域 分析曲线特点 解: 与 x 轴所围面积 由图形的对称性 , 也合于所求. ? 为何值才能使 与 x 轴围成的面积等 故 3. 求曲线 图形的公共部分的面积 . 解： 与 所围成 得 所围区域的面积为 * 目录 上页 下页 返回 结束 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 则 边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为 在第一象限所围 图形的面积 . 解: 由 得交点 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元