高考数学专题复习立体几何(理科)练习题.docVIP

《立体几何》专题 练习题 1．如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点， P、Q分别为A1C1与EF、AC与BD的交点， （1）求证：D、B、F、E四点共面； （2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线 2．已知直线、异面,平面过且平行于,平面过且平行于,求证:∥． 3. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得，其中， ,,若如图所示建立空间直角坐标系． ①求和点的坐标； ②求异面直线与所成的角； ③求点C到截面的距离． 4. 如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB． (I) 求证：AB平面PCB； (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小； （III）求二面角C-PA-B的余弦值． 5. 如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. (1)求证AE⊥平面BCE； (2)求二面角B—AC—E的余弦值． 6. 已知正三棱柱的底面边长为2，点M在侧棱上. （Ⅰ）若P为AC的中点，M为BB1的中点，求证BP//平面AMC1； （Ⅱ）若AM与平面所成角为，试求BM的长. 7. 如图，在底面是形的四棱锥P—ABC中，PA＝A＝，BC＝ （1）证PDC⊥平面AD； （2）求AE 与PC所成角的； 8. 已知：在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB = a，AA1 = 2a . D是侧棱BB1的中点.求证： （Ⅰ）求证：平面ADC1⊥平面ACC1A1； （Ⅱ）求平面ADC1与平面ABC所成二面角的余弦值． 9. 已知直四棱柱的底面是菱形，且，为 棱的中点，为线段的中点． （Ⅰ）求证：直线平面； （Ⅱ）求证：直线平面； （Ⅲ）求平面与平面所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1上的内分点，满足. （1）求证：A1P⊥平面AQD； （2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值. 11. 如图,长方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是线段B1D1、A1B上的点，且D1E=2EB1,BF=2FA1． （1）求证:EF∥AC1； （2）若EF是两异面直线B1D1、A1B的公垂线段,求证该长方体为正方体． 12. 如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N. （Ⅰ）求证：EM∥平面A1B1C1D1； 　 （Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值. 参考答案 1．（1）证明：因为E、F分别为D1C1和B1C1的中点， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 故，， 所以E、F、D、B四点共面. （2），确定平面， 又， 而，又， 而面，，即P，Q，R三点共线. 2．证明:过作平面,使 ∵∥,?,,∴∥ 又∵?,?,∴∥且∥ 又、异面,∴与必相交,∴∥. 3.解（1） （2） （3） ， 4.（I）证明：(I) ∵PC平面ABC，平面ABC， ∴PCAB ∵CD平面PAB，平面PAB， ∴CDAB． 又， ∴AB平面PCB． （II）由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=． 以B为原点，如图建立坐标系．则 Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），C（，０，0），P（，０，2）． ，．则+0+0=2． == ． ∴异面直线AP与BC所成的角为． （III）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．，， 则 即解得 令= -1, 得 m= (，0，-1)． 设平面PAC的法向量为n=()． ，， 则 即 解得 令=1, 得 n= (1，1，0)． =． ∴二面角C-PA-B的余弦值为 5. (1)证明平面ACE. ∵二面角D—AB—E为直二面角，且， 平面ABE. （Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图. 面BCE，BE面BCE， ， 在的中点， 设平面AEC的一个法向量为， 则 解得 令得是平面AEC的一个法向量. 又平面BAC的一个法向量为， ∴二面角B—AC—E的 6.（Ⅰ）证明：连AC1、MC1， 取AC1的中点G，连MG， 则