高考数学专题复习讲练测专题二函数与方程专题复习讲练3函数应用性问题.docVIP

§3函数应用性问题 一、复习要点　　1．应用函数知识解应用题的方法步骤： 　　（1）正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键．转化来源于对已知条件的归纳、综合、分析与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类；　　（2）用相关的函数知识，进行合理设计，确立最佳解题方案，进行数学上的计算求解；　　（3）把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．　　2．解函数应用问题常见的错误：　　（1）不会将实际问题抽象转化为函数模型，或转化不全面；　　（2）在求解过程中忽略实际问题对变量参数的限制条件．　　二、例题讲解　　例1　某地区地理环境偏僻，严重制约着经济发展，某种土特产品只能在本地销售．该地区政府每投资ｘ万元，所获利润为Ｐ＝－（1／160）（ｘ－40）２＋10万元．为顺应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元．若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修通一条公路，且5年可以修通．公路修通后该土特产品在异地销售，每投资ｘ万元，可获利润Ｑ＝－（159／160）（60－ｘ）２＋（119／2）（60－ｘ）万元．试问：从十年的总利润来看，该项目有无开发价值?讲解：若按原来投资环境不变，由题设知，每年只要从60万元专款中拿出40万元投资，可获最大利润10万元．这样10年总利润的最大值为Ｗ＝10×10＝100（万元）．若对该产品开发，则前5年中，当ｘ＝30时，Ｐｍａｘ＝（75／8），前5年的总利润为Ｗ１＝（75／8）×5＝（375／8）（万元）．设后5年中，ｘ万元用于本地销售投资，60－ｘ万元用于异地销售投资，则总利润Ｗ２＝［－（1／160）（ｘ－40）２＋10］×5＋［－（159／160）ｘ２＋（119／2）ｘ］×5＝－5（ｘ－30）２＋4500．　从而当ｘ＝30时，Ｗ２的最大利润为4500万元．于是10年总利润的最大值为375／8＋4500万元．　∵　375／8＋4500＞100，　∴　该项目具有极大的开发价值．　例2　某工厂今年1月、2月、3月生产某产品的数量分别为1万件、1．2万件、1．3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y abx+c（其中a、b、c为常数）．已知4月份该产品的产量为1．37万件，请问：用以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由．　　讲解：根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1．37万件，哪种函数作为模拟函数就较好．故应先确定出这两个函数的具体解析式．　　设y１ f（x） px２＋qx+r（p、q、r为常数，且p≠0），y２ g（x） abx+c（a、b、c为常数）.由已知得 f（1） 1， g（1） 1， f（2） 1.2， g（2） 1.2， f（3） 1.3 g（3） 1.3. 即 p+q+r 1， 及 ab+c 1， 4p+2q+r 1.2， ab２＋c 1.2， 9p+3q+r＝1.3 ab３＋c 1.3. 　　解得　p -0.05，q 0.35，r 0.7;，b 0.5，c 1.4.　　∴f（x） -0.05x２＋0.35x+0.7，（x） -0.8×0．5x+1.4.　　∵f（4） -0.05×4２＋0．35×4＋0．7＝1．3，　　　g（4） -0.8×0．5４＋1．4＝1．35，　　∴g（4）更接近于1．37，故选用y -0.8×0．5x＋1．4作为模拟函数较好．　　确定两种函数的解析式是解答本题的关键．　　例3　在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v（千米/小时）的平方与车身长（S米）的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50千米/小时，车距恰为车身长．　　（1）试写出d关于v的分段函数式（其中S为常数）；　　（2）问应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量Q＝（1000v）／（d+S）最大?　　讲解：（1）本题是从实际生活中抽象出来的实际应用性问题，入手较容易．车距d是车速v（千米/小时）的平方与车身长（S米）的积的正比例函数，由此可建立如下数学模型：　　２Ｓ，　　　　①　　其中S为常量，v、d为变量，k为比例系数，是待定的常数．由题设知，当v 50千米/小时时，d S.由此可确定k的值．　　由S＝k·50２·Ｓ，得k 1／2500.　　∴d （1／2500）v２Ｓ．　　　　②　　为了交通安全，从实际出发，提出了一个限制条件“最小车距