高考数学二十二个必考问题讲解17.docVIP

必考问题17　与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题 1．(2011·新课标全国)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．18 B．24 C．36 D．48 C　[不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x＝.代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故SABP＝×6×12＝36.]2．(2011·山东)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)． A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)C　[x2＝8y，焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2. 由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4＜y0＋2，y0＞2.]3．(2010·福建)若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则O·F的取值范围为(　　)． A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞) C. D. 答案：B　[如图，由c＝2得a2＋1＝4，a2＝3， ∴双曲线方程为－y2＝1. 设P(x，y)(x≥)， O·F＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2 ＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1(x≥)． 令g(x)＝x2＋2x－1(x≥)，则g(x)在[，＋∞)上单调递增．g(x)min＝g()＝3＋2.O·F的取值范围为[3＋2，＋∞)．]4．(2012·浙江)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.解析　因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为－ ＝2 －＝，则曲线C1与直线l不能相交，即x2＋a＞x，x2＋a－x＞0. 设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)， 则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，所以a＝. 答案　 本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大． 复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值. 必备知识 有关弦长问题 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝ |x2－x1|或|P1P2|＝|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用韦达定理，即作如下变形： |x2－x1|＝ ； |y2－y1|＝ . (2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 F1、F2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有 |OP|∈[b，a]； |PF1|∈[a－c，a＋c]； |PF1|·|PF2|∈[b2，a2]； F1PF2≤∠F1BF2. (2)双曲线中的最值 F1、F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有 |OP|≥a； |PF1|≥c－a. (3)抛物线中的最值 点P为抛物线y2＝2px(p＞0)上的任一点，F为焦点，则有 |PF|≥； A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值． 必备方法 1．定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就