等比数列前n项与的性质.docVIP

第十课时 等比数列前n项和的性质及应用掌握等比数列前n项和公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． 重点难点重点：等比数列前n项和及性质的应用． 难点：等比数列前n项和及性质的灵活应用． 在等差数列 an 中，我们知道其前n项和Sn满足这样的性质，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列；等比数列的前n项和Sn是否也满足这一性质呢？试证明之． n项和的性质 在等比数列 an 中，Sn，S2n－Sn，，…成等比数列，其公比是. 2．等比数列前n项和公式Sn＝ q≠1 ，是否可以写成Sn＝A qn－1 Aq≠0且q≠1 的形式？若可以，A等于什么？ 提示可以，A＝－. ．等比数列前n项和公式Sn＝ q≠1 ．是否可以写成Sn＝Aan＋B AB≠0且A≠1 的形式？ 提示可以，A＝－，B＝.n项和与指数函数的性质 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，q≠1的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个与一个的和构成的，而指数式的系数与常数项．当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一些． n项和的性质及应用 【例1】 1 已知等比数列 an 中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30. 2 一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数． 1．解决本例有两种思路：用等比数列的前n项和公式直接求解，属通性通法；用性质求解，方法灵活，技巧性强，有时使计算简便．2．等比数列前n项和的常用性质 1 项的个数的“奇偶”性质：等比数列 an 中，公比为q.若共有2n项，则S偶S奇＝q； 若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝ q≠1且q≠－1 ． 2 “片断和”性质：等比数列 an 中，公比为q，前m项和为Sm Sm≠0 ，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S k－1 m，…构成公比为qm的等比数列． 设等比数列 an 的前n项和为Sn，若＝3，求的值． 【例2】根据下面各个数列 an 的首项和递推关系，求其通项公式： 1 a1＝1，an＋1＝an＋2n nN* ； 2 a1＝1，an＋1＝an nN* ； 3 a1＝1，an＋1＝an＋1 nN* ； 4 数列 an 满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，求数列 an 的通项公式． 1．形如an＋1＝an＋f n 的递推式，可用叠加法求通项公式．2．形如an＋1＝f n an的递推式，可用叠乘法求通项公式.3.形如an＋1＝kan＋b k、b为常数 的递推式，可变形为an＋1＋λ＝k an＋λ 构造等比数列求解，其中λ可用待定系数法确定．4．由和式求通项公式，可把和式看做一个数列的前n项和，然后根据an＝来求解． 1 已知数列 an 中，a1＝，an＋1＝an＋，求数列 an 的通项公式； 2 已知数列 an 中，a1＝3，a2＝5，且Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋2n－1 n≥3 ，求数列 an 的通项公式． 【例3】某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元，两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？ 计算数据精确到万元，1.110≈2.594,1.310≈13.786 1．解决本题的关键是分清甲、乙两个方案属于等差数列模型还是等比数列模型．2．等差、等比数列的应用题常见于产量的增减、价格的升降、细胞分裂、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题．3．将实际问题转化为数列问题时应注意：分清是等差数列还是等比数列；分清是求an还是求Sn，特别是要准确确定项数n；递推关系的发现是数列建模的关键．4．解数列应用题的思路方法如图所示． 某市2012年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底， 1 该市历年所建中低价房的累计面积 以2012年为累计的第一年 将首次不少于4 750万平方米？ 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 1.084≈1.36,1.085≈1.47，1.086≈1.59 1．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程 组 求解，在解方程时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处．2．在解等比数