高考第一轮复习数学2.14导数的综合问题.docVIP

2.14 导数的综合问题 ●知识梳理 1.若函数f（x）有导数，它的极值可在方程（x） 0的根处来考查，求函数y f（x）的极值方法如下： （1）求导数（x）； （2）求方程（x） 0的根； （3）检查（x）在方程（x） 0的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数y f（x）在这个根处取得极小值；如果左正右负，那么函数y f（x）在这个根处取得极大值. 2.设y f（x）是一多项式函数，比较函数在闭区间［a，b］内所有的极值，以及f（a）和f（b），最大者为最大值，最小者为最小值. ●点击双基 1.（江苏，10）函数f（x） x3－3x+1在闭区间［－3，0］上的最大值、最小值分别是 A.1，－1 B.1，－17 C.3，－17 D.9，－19 2.函数f（x） x3－3bx+3b在（0，1）内有极小值，则 A.0 b 1 B.b 0 D.b 3.已知f（x） 2x3－6x2+m（m为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是 A.－37 B.－29 C.－5 D.以上都不对 4.已知函数y x3+ax2+bx+27在x －1处有极大值，在x 3处有极小值，则a+b ________. 5.设函数f（x） x3－－2x+5.若对任意x∈［－1，2］，都有f（x） m，则实数m的取值范围是________. ●典例剖析 【例1】 （天津，20）已知函数f（x） ax3+bx2－3x在x ±1处取得极值. （1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值； （2）过点A（0，16）作曲线y f（x）的切线，求此切线方程. 【例2】 （天津，21）已知函数f（x） ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x 1时，f（x）取得极值－2. （1）求f（x）的单调区间和极大值； （2）证明：对任意x1、x2∈（－1，1），不等式|f（x1）－f（x2）|＜4恒成立. 【例3】 设函数f（x） x3+mx2+nx+p在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x 2是方程f（x） 0的一个根. （1）求n的值； （2）求证：f（1）≥2. 【例4】 对于函数y f（x）（x∈D）若同时满足下列两个条件，则称f（x）为D上的闭函数. ①f（x）在D上为单调函数； ②存在闭区间［a，b］D，使f（x）在［a，b］上的值域也是［a，b］. （1）求闭函数y －x3符合上述条件的区间［a，b］； （2）若f（x） x3－3x2－9x+4，判断f（x）是否为闭函数. ●闯关训练 夯实基础 1.函数y x4－8x2+2在［－1，3］上的最大值为 A.11 B.2 C.12 D.10 2.函数f（x） x3+ax2+bx+c，其中a、b、c为实数，当a2－3b 0时，f（x）是 A.增函数 B.减函数 C.常数 D.既不是增函数也不是减函数 3.y 3x－x3的极大值是________，极小值是________. 4.（北京西城区模拟题）如果函数y f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y f（x）在区间（－3，－）内单调递增； ②函数y f（x）在区间（－，3）内单调递减； ③函数y f（x）在区间（4，5）内单调递增； ④当x 2时，函数y f（x）有极小值； ⑤当x －时，函数y f（x）有极大值. 则上述判断中正确的是________. 5.如图所示，曲线段OMB是函数f（x） x2（0 x 6）的图象，BA⊥x轴于A，曲线段OMB上一点M（t，f（t））处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q， （1）试用t表示切线PQ的方程； （2）试用t表示△QAP的面积g（t），若函数g（t）在［m，n］上单调递减，试求出m的最小值. 培养能力 7.已知函数f（x） 4x3+ax2+bx+5的图象在x 1处的切线方程为y －12x. （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）在［－3，1］上的最值. 8.已知实数a 0，函数f（x） ax（x－2）2（x∈R）有极大值32. （1）求实数a的值； （2）求函数f（x）的单调区间. 9.已知f（x） ax5－bx3+c（a 0）在x ±1处有极值，且极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值. 探究创新 10.有点难度哟！ （全国）用总长14.8 m的钢条作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. ●思悟小结 1.（x0） 0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件，如函数y x3在x 0处. 2.函数f（x）在极值点不一定可导，如函数y |x|在x 0处. 3.注意极值与最值的关系，理解若只有一个极值则必为最值. 4.体会数形结合、