周期函数的最小正周期-研究.doc

中学代数研究 期末论文 周期函数最小正周期存在性及其应用 摘要 本文研究了周期函数最小正周期的若干问题. 对周期函数的最小正周期存在的充要和充分条件进行了探讨，也给出了说明结果的一些例子，并总结了些求 最小正周期的方法，最后简要分析了高中生对最小正周期的认识。 全文分为五部份: 第一部分是关于最小正周期的一般理论, 得到了周期函数有最小正周期的充要条件和充分条件,; 第二部分讨论了周期函数的应用。如两个周期函数之和的最小正周期的问题, 和复合函数最小正周期问题; 第三部分讨论了如何求最小正周期，其中三角函数最小正周期求法是我们所最常见的；第四部分讨论了高中对最小正周期的认识，发现其中问题，并给予了些意见。 关键词：周期函数 最小正周期 三角函数 最小正周期的求法 引言 我们都知道一些周期函数在定义域上存在最小正周期，如sinx，cosx，tanx等。但也有些周期函数并无最小正周期，例如常值函数、狄利克雷函数等。那么，什么样的周期函数一定存在最小正周期？ 一．周期函数最小正周期存在性(洪,王,李) 1.1周期函数最小正周期的定义 定义：若函数f(x)为M上的周期函数，T称为函数f(x)的一个周期，如果在所有周期中存在一个最小正数，那么叫做f(x)的最小正周期或基本周期。 1.2周期函数最小正周期存在充要条件[1] 为叙述简洁，先就本文采用的符号作说明: R 周期函数的正周期集 周期函数的正周期集J的下确界 T* -周期函数的最小正周期(若最小正周期存在) 定理1 (i)周期函数f(x)存在最小正周期的充要条件是。 (ii)f(x)无最小正周期的充要条件是=0。 其实，(i)和(ii)可相互作为推论而成立。这里仅对(i)予以证明。 证明 必要性显然成立。 充分性。已知，只要证明是f(x)的一个正周期即可。利用反证法，假设f(x)不存在最小正周期，即不是f(x)的正周期。由的定义，存在f(x)的一正周期列 .于是{}中总存在和，使. ，仍是f(x)的正周期，这与的定义矛盾。所以f(x)必有最小正周期，且最小正周期。(证毕) 推论1设f(x)为定义在M上的周期函数，如果存在开区间，则f(x) 必存在最小正周期。事实上,如果。则。 推论2无最小正周期的周期函数的定义域必是稠密集。 1.2周期函数最小正周期存在充分条件[2] 定理2 若R上周期函数f（x）不恒为常数，且f(x)是连续的，则f(x)必有 最小正周期。 等价为 无最小正周期的连续周期函数一定为常值函 证明： 设E为f(x)的正周期构成的一个集合，0为E的一个下界，故E有下确界，记为μ， 事实上，周期函数的“连续性”条件可以被更弱的条件“一点连续，一点单侧极限存在或为无穷大”所代替。从而结论可变为下述更强的命题。 定理3 设f(x)是非常值周期函数，若f(x)在某点x。处是连续的，则f(x)有最小 正 周期。 定理4 设f(x)是定义在M上的非常值函数，若f(x)在某点x。处存在单侧极限(左 极限或右极限)，则f(x)有最小正周期。 说明:定理3中的点，由连续性知;而定理4中的点x。则有两种可能， 定理5 设f(x)是定义在M上的周期函数，若f(x)在某点处的左极限(或右极 限)为无穷大，则f(x)有最小正周期。 证明： 设f(x)在点处的左极限为无穷大，即 则存在yM(y)，有f(y)0。对于|f(y)|o，存在，使|f(x)||f(y)| 成立，于是,由定理1知，f(x) 有最小正周期。(证毕) 推论3 无最小正周期的非常值周期函数，必是处处单侧极限不存在，也不为无 穷大。 推论4 无最小正周期的周期函数f(x)，若在某点处左极限(或右极限)存在，则f(x)必是常值函数。 以上这些定理全为周期函数最小正周期存在充分条件，下面举些反例说明 反例 【例1】 【例2】 函数易知f(x)的最小正周期T=1。由于有 理数集是稠密的，又0x-[x]1，所以f(x)在R上点点左、右极限不存在，也不为无穷大。 二：最小正周期的应用(洪) 2.1周期函数最小正周期与周期的关系[3] 定理7 若t是函数的一个周期，n为非零整数，则nt并不一定能包含函数的所有周期，但当t为函数的最小正周期时，nt就能包括函数的所有周期。 证明：记函数f所有周期构成的集合为S，对任意的T属于集合S，有T=nt+r,其中0=rt,若, 是函数f的一个正周期，这与t为f的最小正周期矛盾。所以r=0