专题四,第三讲空间向量与立体几何研究.doc

专题四：立体几何 第三讲 空间向量与立体几何 【考纲解读】21世纪教育网 1．空间向量及其运算 （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 （3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 2．空间向量的应用 （1）理解直线的方向向量与平面的法向量。 （2）能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的垂直、平行关系。 （3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。 （4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。 高频考点一：利用空间向量证明空间位置关系21世纪教育网 方法指导：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。 2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。 3．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)． (1)线面平行 lα?a⊥μ?a·μ＝0a1a3＋b1b3＋c1c3＝0. (2)线面垂直 lα?a∥μ?a＝kμa1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3. (3)面面平行 αβ?μ∥v?μ＝λva3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4. (4)面面垂直 αβ?μ⊥ν?μ·v＝0a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷）如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.(Ⅰ) 证明:平面; (Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值. 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。21世纪教育网 【规范解答】 (Ⅰ) 在图1中,易得连结,在中,由余弦定理可得 由翻折不变性可知,所以,所以,理可证, 又,所以平面.(Ⅱ) 传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而所以,所以二面角的平面角的余弦值为.向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,所以,设为平面的法向量,则,即,解得,令,得由(Ⅰ) 知,为平面的一个法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值为. 【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行； 2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直； 3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。 4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。 高频考点二：利用空间向量求线线角、线面角21世纪教育网 方法指导： 1．空间角的计算 (1)两条异面直线所成角的求法 设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则 cos φ＝|cos θ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)． (2)直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝. (3)二面角的求法 利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角． 对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求． 如图所示，二面角αl－β，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面α－l－β的大小为θ或πθ. ２．空间距离的计算直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离． 点P到平面α的距离，d＝(其中n为α的法向量，M为α内任一点)． ．空间角的范围 (1)异面直线所成的角(θ)：0＜θ≤； (2)直线与平面所成的角(θ)：0≤θ≤； (3)二面角(θ)：0≤θ≤π.用向量法证明平行、垂直问题的步骤：(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面； (2)通过向量运算研究平行、垂直问题； (3)根据运算结果解释相关问题． ．空间向量求角时考生易忽视向量的夹角与所求角之间的关系：(1)求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦