D3_4单调与凹凸(第4次课)资料解读.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 第四节 一、函数单调性 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章 * 一、 函数单调性 若 定理 1. 设函数 则 在 内单调递增。 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明 在 I 内单调递增. 在 连续； 函数 在 内可导， * 一、 函数单调性 若 定理 2. 设函数 则 (递减) 在 连续； 函数 在 内可导， 在 内单调递增， 提示：用定义证明！ * 例1. 确定函数 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 * 说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, * 例2. 证明 时, 成立不等式 证: 令 从而 因此 且 证 证明 * * 证明 令 则 从而 即 * 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是（向上）凹的; (2) 若恒有 则称 图形是（向上）凸的 . 二、曲线的凹凸与拐点 拐点------连续曲线的凹凸分界点 拐点 * 定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . 证: 利用一阶泰勒公式可得 两式相加 说明 (1) 成立; (2) 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕 * 例3. 判断曲线 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是向上凹的. 拐点的判别法: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. * （同号） （不是） 例4. 求曲线 的拐点. 解: 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 * 对应 例5. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 3) 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 凹 凹 凸 * 内容小结 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 + – 拐点 — 连续曲线的凹凸分界点 * 思考与练习 上 则 或 的大小顺序是 ( ) 提示: 利用 单调增加 , 及 B 1. 设在 * . 2. 曲线 的凹区间是 凸区间是 拐点为 提示: 及 ; ; 第五节 * 有位于一直线的三个拐点. 1. 求证曲线 证明： 备用题 * 令 得 从而三个拐点为 因为 所以三个拐点共线. = * 证明: 当 时, 有 证明: 令 , 则 是凸函数 即 2 . 第五节 * * 运行时, 点击按钮“证明”, 或“证” , 可显示该不等式的证明过程, 证毕自动返回.