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3.非刚性变换.doc
Point Set Registration: Coherent Point Drift
Myronenko, A.; Xubo Song; Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on Volume: 32 , Issue: 12 Digital Object Identifier: 10.1109/TPAMI.2010.46 Publication Year: 2010 , Page(s): 2262 - 2275
IEEE Journals
Abstract ?|? Full Text: PDF?(2227 KB)
这篇文章讲的是点集配准的问题。
也就是说:
我们的任务是,如何找出这俩点集之间的意义对应的关系:
换言之,也就是找出中间这个变换,是怎么样的?
具体地,给你
(每个点)和
(每个点),
让你找一个变换,使得变换之后得到跟之中的一个能一一对应起来,对应的点对应该越像越好。
作者的思路比较独特,作者把看作是GMM的质心,而看作是点的集合。
只要能求出GMM模型和,就能得到每个对应的那个:就是让
,也就是最大的那个。
其实是
这样,一一对应的关系就找出来了。
关键问题就是,如何估计GMM,又如何求得?
变换参数
其实,求可以有规可循的:
刚性变换:
,
这样的话,求,就是求刚性变换的三个参数:=()
仿射变换:
参数就是:=()
非刚性变换:
参数就是权值=
通过求GMM参数来估计变换参数
给出以上三个情况,我们的人就是把求出来,从而得到每个GMM中的的:.
回忆一下GMM的估计算法,这个算法的目的是,要找到GMM模型中的(也就是找到)和,可以让最小:
这样,我们就把估计的问题,先变成了它的参数的估计,然后又通过GMM,变成了可以通过EM算法来估计的参数。
那么具体地,啥是EM算法呢?
就是通过和两步交替迭代进行,最终收敛,来使得能最小化。
初始化参数:
:
:求^new跟^new使得
最小
下面的问题就是,如何求得^new跟^new使得这个目标函数最小呢?我们分情况来讨论:
刚性变换
问题就是如何求得来使得
达到最小?
当然就是求导数,然后让这个导数等于零,求出各个参数了。
首先,我们从下手,对Q求t的偏导数,然后让它等于零,解得:
把t带到Q中去,写成矩阵形式:
到了这份上,我们可以给出一个作为工具的定理了:
想要求一个,来,
这个要求的R是这样的:
是A的,其中跟是正交的,
用这个定理,我们试图来解出R来,关键就是如何把求一个让Q最小话的R的问题,套成的样子了
再后头看把t 带回Q之后的式子:
我们会惊奇的发现:只有中有R的踪影,而这个中,恰好就是的样子!
那就太好啦,我们就把Q表达成我们所想要的形式:
最恰好的是:我们要求Q的最小值,而是求最大值的方法,就在这关键时刻,的前面,出现了一个负号!!
这样,就万事大吉啦!我们要求R来最小化Q,就变成了:
它的解是:
有了R,我们就可以求得了。
至于,有了R跟t,直接求Q关于的导数,然后等于零求就行了。
从作者解R的方法上看来,作者不光思路新颖,(想到用GMM的质心个数据点的先验概率来判断一一的对应关系),而且数学功底特别扎实,(想到了用来解R).这一点是非常难得的,尤其在工科出身的研究者中间,往往是仅仅是思路新颖,到了数学方面就不行了。
下面就上刚性配准的算法:
这是把给算出来。
这步把R给解了。
然后就得到了变换的函数:
重新算p_mn,用来求对应关系:
仿射变换
这个跟刚才的刚性变换及其相似,就是没了这个限制条件:
和s,这样的话:
只要分别对Q求B、t、导数然后置零就行了。
上算法:
非刚性变换
这个问题就是如何估计一个函数的问题。
首先作者先给这个函数加一个约束:到目标函数Q里面去,然后通过最小化这个目标函数,来得到一个最优的。
关键是,如何定义这个呢?
作者提出用的来定义
实际上,G是个函数,也就是个低通滤波器,而则是用G的倒数,把的高频部分给保留下来了。也就是说,通过这个变换,把的高频部分给抽取出来,然后做。
好的,吧这项加到Q目标函数上之后:
变成了
下面就是如何来求这个v了?
作者说,要求的这个,必然满足一下这个等式:
这个问题的解就是:
好不容到了这一步,我们总算有了这样一个头绪。现
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