7-5离散系统的稳定性和稳态误差-烟台大学光电信息科学技术学院.ppt

7-5 离散系统的稳定性和稳态误差 7.5.1 s域到z域的映射 * * 烟台大学光电学院 采样信号 取拉普拉斯变换： 令： 所以，s域到z域的基本映射关系式为： 取s平面虚轴，当ω从－∞～+∞变化时，映射到z平面的轨迹是以原点为圆心的单位圆。 1. 等σ线映射 s平面上的等σ垂线，映射到z平面上的轨迹是以原点为圆心，以 为半径的圆，其中T为采样周期。s左半平面上的等σ线映射为z平面单位圆内的同心圆；s右半平面上的等σ线映射为z平面单位圆外的同心圆。 2. 等ω线映射 s平面上的等ω垂线，映射到z平面上的轨迹是以原点出发的射线，相角为 3. 等 线映射 除β等于0°和90°外，当β为常数时，左半s平面的等z线映射为z平面上单位圆内一簇收敛的对数螺旋线，其起点为(1,j0)处，终点为z平面原点。 7.5.2 离散系统稳定的充要条件 定义：若离散系统在有界输入序列作用下，其输出也是有界的，则称该离散系统是稳定的。 (1)时域中离散系统稳定的充要条件 设系统差分方程为： 当且仅当差分方程的特征根的模均小于1时，对应的线性定常系统是稳定的。 (2)z域中离散系统稳定的充要条件 当且仅当离散特征方程的特征根的模均小于1时 (全部特征根均位于单位圆内时) ，对应的线性定常系统是稳定的。 例7-26 设离散系统如图所示， 试确定系统稳定性。 解：系统开环脉冲传递函数为： 系统特征方程为： 所以离散系统不稳定。 7.5.3 离散系统稳定判据 连续系统稳定性判断实质是判断系统极点是否都位于s左半平面。离散系统中稳定性判断实质是判断系统极点是否都位于z平面单位圆内。因此劳斯判据不能直接用于离散系统中，引入双线性变换(w变换) 令复变量：z=x+jy w=u+jv 代入系统特征方程 ，则离散系统稳定的充要条件为系统特征方程 的根均在w左半平面，可直接利用劳斯判据。 对于w平面上的虚轴, 实部u=0, 即 x2+y2-1=0 这就是z平面上以坐标原点为圆心的单位圆的方程。单位圆内x2+y2＜1, 对应于w平面上u为负数的虚轴左半部; 单位圆外x2+y2＞1, 对应于w平面上u为正数的虚轴右半部。 例7-26 设闭环离散系 统如图所示，其中采 样周期为T=0.1s，试确 定系统稳定时K的临界值。 解：系统开环脉冲传递函数为： 闭环系统特征方程为： 所以系统稳定，需 7.5.4 采样周期与开环增益对稳定性的影响 例：判断图所示系统在采样周期 T＝1s时和T＝4s时，系统的稳定性。 解: 开环脉冲传递函数为 闭环传递函数为 闭环系统的特征方程为 即 z2+(T-2)z+1-Te-T=0 当T=1 s时, 系统的特征方程为 z2-z+0.632=0