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第五章 连分数 基本内容 连分数的定义和性质：理解连分数的有关概念，会证明每一个简单连分数都是一个实数。 实数表示为连分数：会证明任一无理数都可表为无限简单连分数，了解有理数的连分数表示法。 循环连分数：了解二次代数数都是循环连分数，会求二次方根的连分数。 最佳渐近分数： 5.1 连分数的定义及性质 例 即 5.2 实数表示为连分数 任一个有限简单连分数表示一个有理数。反之，任意一个有理数可以有恰好2种方式表示成一个有限简单连分数，其中一个含有奇数个项，另一个含偶数个项。 任一个无限简单连分数表示一个无理数。反之，任意一个无理数可以唯一的表示成 一个无限简单连分数。 若一个实无理数是一个整系数一元二次方程的根，则称为二次无理数。 任意二次无理数与循环简单连分数一一对应。 当然，连分数也可写成分数，如 实数的连分数表示算法由来：早在公元前三世纪，欧几里德就发现了一个较优的求连分数算法——辗转相除法，实际上就是求最大公约数的辗转相除法。我们先来回顾一下辗转相除法，不过这次不用短除式，而尝试用等式来描述这个算法。 既然上边的式子成立，那么下面左式也会成立。 例1 用辗转相除法求942和1350的最大公约数。 于是，有 如此反复，最后得 例4 例5 例 6 例 7 5.3 最佳渐近分数 三个问题： 一个分数的连分数表达式是否可能永远写不完？（否） 即便能写完，是否一定要把它写完？ 如果没有把它写完就截断，所得的分数与原来的分数有何关系？ 首先，任何一个有理数一定可以写成有限连分数；任何一个无理数一定可以唯一地写成无限连分数； 其次，利用分数的连分数表达式的逐次截断值（即，渐近分数）可以求出该分数的近似值。 实数 与它的渐近分数有如下关系： 定理 5 推论 * * 要把一个分数写成连分数，只要不断地把分子分母同时除以分子，将分子化为 1 。如 37/99﹦？ 例3 斐波那契数列前项与后项之比的极限（黄金比）为