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* * * * * * * * * 生成树 离散数学─树 南京大学计算机科学与技术系 内容提要 生成树 深度优先有哪些信誉好的足球投注网站 广度优先有哪些信誉好的足球投注网站 有向图的深度优先有哪些信誉好的足球投注网站 回溯 最小生成树算法 生成树 定义：若图G的生成子图是树，则该子图称为G的生成树。 无向图G连通 当且仅当 G有生成树 证明(充分性显然)： ? 注意：若G是有简单回路的连通图，删除回路上的一条边，G中的回路一定减少。(因此，用“破圈法”总可以构造连通图的生成树) 简单无向图G是树 当且仅当 G有唯一的生成树。 注意：G中任一简单回路至少有三条不同的边。 构造生成树：深度优先有哪些信誉好的足球投注网站 a c b e d e a c b e d e 深度优先有哪些信誉好的足球投注网站算法 Procedure DFS(G: 带顶点v1, …,vn的连通图) T:=只包含顶点v1的树； visit(v1)； Procedure visit(v: G的顶点) for v每个邻居w { if w不在T中 then { 加入顶点w和边{v, w}到T； visit(w)； } } depth-first search tree Normal spanning trees are also called depth-first search trees. 构造生成树：广度优先有哪些信誉好的足球投注网站 a b e d c e a c b e d e 广度优先有哪些信誉好的足球投注网站算法 Procedure BFS(G: 带顶点v1, …,vn的连通图) T:=只包含顶点v1的树; L:=空表; 把v1放入表L中 While L非空 { 删除L中的第一个顶点v; for v的每个邻居w { if w既不在L中也不在T中 then { 加入w到L的末尾; 加入顶点w和边{v, w}到T; } } } 有向图的深度优先有哪些信誉好的足球投注网站 a b c d e f g h i j k l 有向图的深度优先有哪些信誉好的足球投注网站 /pinewiki/DepthFirstSearch 回溯（八皇后） 在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。 从空棋盘开始 尝试第1列，第1行，…n行； 尝试第2列，第1行，…n行； …. 尝试第k+1列，第1行，…n行； … 回溯（子集和） 给定一组正整数x1, …, xn ，和为M的一个子集？ 从空子集开始 尝试添加一项， 和等于M，结束； 和不超过M，子集包含它； 没有合适添加项，去掉和的最后一项， 回溯（子集和） 举例：{31, 27, 15, 11, 7, 5}, 和为39的子集？ ?? {31} {27} {27, 7} {27, 11} {31, 5} {31, 7} {27, 7, 5} Prim算法（求最小生成树） 1: E={e}, e是权最小的边 2: 从E以外选择与E里顶点关联，又不会与E中的边构成回路的权最小的边加入E 3: 重复第2步，直到E中包含n-1条边 算法结束 Prim算法（举例） 铺设一个连接各个城市的光纤通信网络（单位：万元）。 f e b a c d 54 60 36 38 8 40 48 20 45 28 15 38 30 62 25 12 10 h g Kruskal算法（求最小生成树） 1: E={ } 2: 从E以外选择不会与E中的边构成回路的权最小的边加入E 3: 重复第2步，直到E中包含n-1条边 算法结束 Kruskal算法（举例） 铺设一个连接各个城市的光纤通信网络（单位：万元）。 f e b a c d 54 60 36 38 8 40 48 20 45 28 15 38 30 62 25 12 10 h g Kruskal算法（举例） 27 26(9) 42 21(4) 21(5) 53 25(7) 33 28 36 18(3) 17(2) 34 29 22 A H J E C B G F D 16(1) 21(6) 25(8) I 后面证明：Kruskal算法的正确性 引理（更换生成树的边） T与T‘均是图G的生成树，若e?ET且e?ET’，则必有e?ET’, e?ET, 且T-{e}?{e}和T-{e}?{e}均是G的生成树。 设e=uv, T-{e}必含两个连通分支，设为T1, T2。因T是连通图，T中有uv-通路，其中必有一边满足其两个端点x,y分别在T1, T2中，设其为e，显然T-{e}?{e}是生成树。 而T’-{e’}中x,y分属两个不同的连通分支，但在T*=T’-{e’}?{e}中，xu-通路+e+vy通路是一条xy-通路，因此T’-{e’}?{e}连通，从而 T-{e}?{e}是生成树。 T1 T2