文2-3函数的奇偶性与周期性分解.ppt

1）若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 则称 f(x) 为偶函数. 1.函数的奇偶性 2）若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)= -f(x)， 则称 f(x) 为奇函数. 3）若函数 f(x) 不具有上述性质, 则称 f(x) 不具有奇偶性; 若函数同时具有上述两条性质, 则 f(x) 既是奇函数, 又是偶函数. 例如: 函数 f(x)=0(x∈D, D关于原点对称)是既奇又偶函数. 2.简单性质 1）奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于 y 轴对称. 反之亦成立！ 2）单调性:奇函数在其对称区间上单调性相同， 偶函数在其对称区间上单调性相反。 3）奇函数: f(0)=0 (要求0 必在定义域内)； 偶函数: f(-x)= f(x)=f(|x|) 3.函数奇偶性的判定方法 1)根据定义法判定: 　　①首先看函数的定义域是否关于原点对称, ②若不对称, 则函数是非奇非偶函数; ③若对称, 再判定 f (-x)=f (x) 或 f (-x)=-f (x). 有时判定 f(-x)=±f(x) 比较困难, 可考虑判定 f(-x) ? f(x)=0 或判定 =?1. f(x) f(-x) 2）借助函数的图象法判定: 3）性质法判定: 在公共定义域内, ①两奇函数之和（差）为奇函数，积(商)为偶函数; ②两偶函数之和（差）为偶函数，积(商)为偶函数; ③一奇一偶函数之积(商)为奇函数. (注意取商时分母不为零!) 3.函数奇偶性的判定方法 考向一：函数奇偶性的判断 1．(2014·重庆高考)下列函数为偶函数的是(　　) A．f(x)＝x－1　 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x D (1). C 解: 考向二：函数奇偶性的应用 1. -1 A 解： 3. 4.(2012·高考上海卷)已知y＝f(x)是奇函数．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________． 解析：由g(x)＝f(x)＋2，且g(1)＝1， 得f(1)＝g(1)－2＝－1. ∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1， ∴g(－1)＝f(－1)＋2＝1＋2＝3. 答案：3 3 5.已知f(x)是偶函数，当x0时，f(x)= x2+x，则当x0时，f(x)=______ x2－x 6.已知f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)＝2x＋log2x，求函数f(x)的解析式． 4.函数的周期性 （1）若存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(x+T)=f(x), 则称函数 f(x) 为周期函数, T 为函数的一个周期. 若f(x)的周期中, 存在一个最小的正数, 则称它为函数的最小正周期； （2）判断一个函数是否为周期函数主要利用其定义； （3）周期函数的定义域必为无穷区间； 注意以下几个常用结论： 1.已知函数f(x)，对?x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)， 且x∈(0，2)时，f(x)＝2012x2，则f(2013)＝________． 2 012 考向三：函数周期性的应用 2.偶函数f(x)满足f(x＋3)＝－f(x)，当x∈[－3，－2]时，f(x)＝2x，求f(116.5)的值． 【解析】因为f(x＋6)＝f[3＋(x＋3)]＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝6. 又116.5＝19×6＋2.5， 所以f(116.5)＝f(2.5)＝f(－2.5)＝2×(－2.5)＝－5. 3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________ 【解析】方法1：因为f(x)是奇函数， 所以f(0)＝－f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0， 所以f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0. 方法2：因为f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数． 又因为f(0)＝0， 所以f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0. 0 1 * *