空间向量数量积运算.ppt

作业P92练习2、3 * 导入新课 复习 如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所作的功 ,为了在数学中体现“功”的这样一个标量,我们引入了“数量积”的概念. 1.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 , 则 叫做 的数量积，记作 , 即 O A B 向量的夹角： B 2.平面向量的数量积的主要性质 设a，b是两个非零向量 （1）a⊥b a×b=0数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件; （2）当a与b同向时, a·b=|a|·|b|;当a与b反向时, a·b=-|a|·|b|;特别地， 用于计算向量的模; （3） 用于计算向量的夹角. 3.平面向量数量积满足的运算律 （1）交换律: （2）对数乘的结合律: （3）分配律: 数量积不满足结合律,即: 问题: 如图,线段AB,BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥ α ，AB=a，BD=b，AC=c,求C,D之间的距离以及异面直线CD与AB所成的角θ的余弦值. 这时候我们发现平面向量的数量积运算已经无法解决三维空间中的长度和夹角问题了,这时我们需要寻求空间向量的运算来求解空间中的夹角和长度. 知识要点 1.两个向量的夹角的定义 如图，已知两个非零向量a，b.在空间任取一点O，可以作OA=a，OB=b，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作:〈a，b〉 O A B 范围:0≤〈a，b〉≤π在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且〈a，b〉= 〈b，a〉. 如果〈a，b〉= π/2，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b . 2. 空间向量数量积的定义 设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作: | a | 已知空间两个非零向量 ， 则 叫做 的数量积，记作 , 即 （1）两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　 （2）规定:零向量与任意向量的数量积等于零. （3） 3.空间向量数量积的运算律 (交换律) (分配律) （数乘运算） 吗？ (2)对于向量 ， 成立吗？ （3）向量有除法吗？ 若m、n是平面α内的两条相交直线，且l⊥m， l⊥n. 则l ⊥α. g l m n 4.线面垂直的判定定理（必修2）： 已知m,n是平面?内的两条相交直线，直线l与?的交点为B，且l⊥m，l⊥n， 求证：l⊥? . 例题1 n m g g m n ? l l 分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直. 要证l与g垂直，只需证l·g＝0 而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn 要证l·g＝0,只需l· g= xl·m+yl·n=0 而l·m＝0 ，l·n＝0 故 l·g＝0 在?内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行. 由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使 g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n 证明 ∵ l·m=0, l·n=0 ∴ l·g=0 ∴ l⊥g ∴ l⊥g 这就证明了直线l垂直于平面?内的任一条直线，所以l⊥? . 例题2 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点. 求证：MN⊥AB，MN⊥CD .　　　 证明 因为 所以 同理， 已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB. 例题3 A B C O A B C O 课堂小结 1.空间向量数量积的概念. 2.探究空间向量数量积运算的性质. 3.空间向量的运算律. 4.空间向量数量积的应用. 5. 通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题 （1）证明两直线垂直; （2）求两点之间的距离