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* 1.2.1三角函数的定义 锐角三角函数 正弦 余弦 正切 推广 任意角三角函数 正弦 余弦 正切 余割 余切 正割 类比 定义 1.初中学过的锐角三角函数的定义: 在直角三角形ABC中,角C是直角,角A为锐角,则用角A的对边BC,邻边AC和斜边AB之间的比值来定义角A的三角函数. (一)三角函数的定义 高中三角函数是在坐标系中定义的 sinα= , cosα= , tanα= 。 定义中坐标P(x,y)的选取与函数值的关系---- 正割 余割 余切 此六种函数,统称为三角函数. 推广前后三角函数定义的联系区别 联系:终边落在第一象限与锐角三角函数定义 相同. 区别:扩充到任意角,扩充后包含原来的定义. 例1.已知角α的终边过点P(2,-3),求α的六个三角函数值。 解:因为x=2,y=-3,所以 sinα= cosα= tanα= cotα= secα= cscα= 例2. 已知角α的终边落在直线 上,求sinα,cosα和tanα. tanx cosx sinx 角度 0 0 0 0 0 1 -1 -1 -1 无 1 1 0 无 1. 角α的终边过点P(-b,4),且cosα= 则b的值是( ) 解:r= cosα= 解得b=3. (A)3 (B)-3 (C)±3 (D)5 A 随堂练习 2. 已知角α的终边上一点P(- ,y)(其中y≠0),且sinα= ,求cosα和tanα. 解:sinα= 解得y2=5,y= 当y= 时,cosα= ,tanα= 当y=- 时,cosα= ,tanα= 角α是“任意角”, 由三角函数定义可知,由于P(x, y)点的坐标x, y的正负是随角α所在的象限的变化而不同,所以三角函数的符号应由角α所在的象限确定. (二)三角函数在各象限内的符号 当角α在第一象限时,由于x0,y0,所以 sinα0,cosα0,tanα0,cotα0,secα0,cscα0. 当角α在第二象限时,由于x0,y0,所以 sinα0,cosα0,tanα0,cotα0,secα0,cscα0. 当角α在第三象限时,由于x0,y0,所以 sinα0,cosα0,tanα0,cotα0,secα0,cscα0. 当角α在第四象限时,由于x0,y0,所以 sinα0,cosα0,tanα0,cotα0,secα0,cscα0. cosα与secα的符号 sinα与cscα的符号 tanα与cotα的符号 例4. 确定下列三角函数值的符号: (1)cos250o; (2) (3)tan(-672o);(4) 解: (1)250o在第三象限,所以cos250o0. (2) - 在第四象限,所以sin(- )0. (3) -672o在第一象限,所以tan(-672o)0. (4) 在第四象限,所以tan( )0. 0 + + 例5.设sinθ0且tanθ0,确定θ是第几象限的角。 解:因为sinθ0,所以θ可能是第三、四象限的角,又tanθ0,θ可能是第一、三象限的角,综上所述,θ是第三象限的角。 例6.若三角形的两内角?,?满足sin?cos?0,则此三角形必为( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上三种情况都可能 B 例4.若α是第三象限角,则下列各式中不成立的是( ) A. sin?+cos?0 B. tan??sin?0 C. cos??cot?0 D. cot?csc?0 B 例7.已知 ,则?为第几象限角? 解:因为 ,所以sin2 ?0, 则2kπ2?2kπ+π, kπ?kπ+ 所以?是第一或第三象限角. 练习 1.函数y= + + 的值域是 ( ) (A) {-1,1} (B) {-1,1,3} (C) {-1,3} (D) {1,3} C 2.已知角θ的终边上有一点P(-4a, 3a)(a≠0), 则2sinθ+cosθ的值是 ( ) *
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