2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(上课用)剖析.ppt

* * 向量的夹角： 已知两个非零向量 和 ，作 ， ， 则∠AOB= θ(0o≤θ≤180o)叫做向量 与 的夹角. θ O A B 当θ= 0o时， 与 同向； 当θ= 180o时， 与 反向； 当θ= 90o时， 与 垂直，记作 。 问题 θ s F 一个物体在力 的作用下产生的位移 ，那么力 所做的功应当怎样计算？ 其中力 和位移 是向量， 是 与 的夹角，而功是数量. θ O 1、平面向量的数量积： 已知非零向量 与 ，我们把数量 叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规定 其中θ是 与 的夹角， 叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量 的数量积为零，即 。 θ B B1 O A 2、数量积的几何意义： 数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的 投影 的乘积。 θ B B1 O A 例1.已知 ， 的夹角θ=120o， 求 。 解： 注意： (1) 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定． (2)两个向量的数量积称为内积，写成 ，不能写成 或 ，书写时要严格区分． 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 当0°≤θ ＜ 90°时， 当90°＜θ ≤180°时， 当θ =90°时， 由向量数量积的定义，试完成下面问题： 0 ≤ 证明向量 垂直的依据 3、数量积的性质 （向量模的公式） （向量的夹角公式） 思考：等式 是否成立？ 4、数量积的运算律： 不成立 如图可知： 1、两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号确定； 要注意的是： 2、两个向量的数量积称为内积，写成 ;与代数中的数a·b不同，书写时要严格区分； 3、在实数中，若a≠0，且a·b=0,则b=0；但 因为其中cosθ有可能为0。 4、已知实数a、b、c（b≠0)，则由ab=bc得a=c. 5、在实数中有（a·b)c=a(b·c), ④ ③ 4 例3.我们知道，对任意 ，恒有 对任意向量 是否也有下面类似的结论？ 例4.已知 ， 的夹角60o， 求 。 例5.已知 ，且 与 不共线，k为何值时， 向量 与 互相垂直。 *