《高等数学》向量代数和空间几何剖析.ppt

运算律 5、 向量积 性质 例4. 已知三点 椭球面 抛物面 双曲面 特殊情形 例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 空间直线 例6.用对称式及参数式表示直线 例7. 求直线 5.线面之间的相互关系 线与线的关系 面与线间的关系 与平面 的交点 . 提示: 化直线方程为参数方程 代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）. 面与面的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: * * 空间解析几何 一、向量代数 二、空间解析几何 1、向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量. 相等向量:大小相等,方向相同 负向量:大小相同,方向相反 向径:起点为原点 零向量:模为0的向量,方向不固定 向量的模:向量的长度(大小) 单位向量:模为1的向量 一、向量代数 （2）向量的分解式： 在三个坐标轴上的分向量： （3）向量的坐标表示式： 向量的坐标： 2、向量的表示法 （1）有向线段 (模和方向余弦） (1)加法： 3、向量的线性运算 (2)减法： (3)向量与数的乘法： 线性运算的坐标表达式 向量模长的坐标表示式 向量方向余弦的坐标表示式 4、数量积 数量积的坐标表达式 两向量夹角余弦的坐标表示式 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 定义： 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , ? ? 称 几何意义：右图三角形面积 S＝ 为非零向量, 则 ∥ 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律 向量积的坐标表达式 ∥ 解 解 例3. 已知向量 的夹角 且 解： 角形 ABC 的面积 解: 如图所示, 求三 横轴 纵轴 竖轴 定点 1、空间直角坐标系 空间的点 有序数组 二、空间解析几何 它们距离为 两点间距离公式: 点到平面的距离公式： （1）旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴. 2、曲面 方程特点: （2） 柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面. 这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线. 从柱面方程看柱面的特征： (3) 二次曲面 椭圆抛物面 ( p , q 同号) 双曲抛物面（鞍形曲面） 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. ( p , q 同号) 单叶双曲面 双叶双曲面 3、空间曲线 （1） 空间曲线的一般方程 （2） 空间曲线的参数方程 空间平面 一般式 点法式 截距式 三点式 4. 空间直线与平面的方程 ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 ? A x+B y+D = 0 表示 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D =0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 解: 因平面通过 x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简,得所求平面方程 为直线的方向向量. 一般式 对称式 参数式 为直线上一点; 解:先在直线上找一点. 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 . 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.