知识要点-直线与圆的位置关系.doc

第4讲 直线与圆的位置关系 ★知识梳理★ 1.判断直线与圆的位置关系有两种方法： ①几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为，圆半径为，若直线与圆相离，则；若直线与圆相切，则；若直线与圆相交，则 ②代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若，则直线与圆相离；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相交 2.两圆的的位置关系 (1)设两圆半径分别为，圆心距为d 若两圆相外离，则 ，公切线条数为4 若两圆相外切,则，公切线条数为3 若两圆相交，则，公切线条数为2 若两圆内切，则，公切线条数为1 若两圆内含，则，公切线条数为0 (2) 设两圆，，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是 3. 相切问题的解法： ①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解 ②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1 ③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即来求解。 特殊地,已知切点,圆的切线方程为, 圆的切线方程为 4.圆系方程 ①以点为圆心的圆系方程为 ②过圆和直线的交点的圆系方程为 ③过两圆，的交点的圆系方程为（不表示圆） ★重难点突破★ 重点:根据给定的方程判定直线与圆、圆与圆的位置关系； 利用直线和圆、圆与圆的位置关系的充要条件解决一些简单的问题； 难点:借助数形结合,利用圆的几何性质,将题目所给条件转化为圆心到直线的距离、两圆的连心线或半径的和与差 重难点:将方程的理论与圆的几何性质相结合,并加以运用 1、把握直线与圆的位置关系的三种常见题型： ①相切——求切线 ②相交——求距离 ③相离——求圆上动点到直线距离的最大（小）值； 问题1：直线与圆相切，则实数等于 【解析】圆心为，半径为，或 2、解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有： ①数形结合，善于观察图形，充分运用平面几何知识，寻找解题途径 ②等价转化，如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题，把公切线的条数问题转化为两圆的位置关系问题，把弦长问题转化为弦心距问题等 ③待定系数法，还要合理运用“设而不求”，简化运算过程 3、①圆与圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之和或半径之差的关系 ②公共弦满足的条件是：连心线垂直平分公共弦 ★热点考点题型探析★ 考点1 直线与圆的位置关系 题型1: 判断直线与圆的位置关系 [例1 ] （2005北京海淀）设m0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为 A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 [解析]圆心到直线的距离为d=，圆半径为. ∵d－r=－=（m－2+1）=（－1）2≥0， ∴直线与圆的位置关系是相切或相离.所以选C 【名师指引】判断直线与圆的位置关系的两种方法(代数法、几何法)中，几何法更简便 题型2:求解圆的切线、弦长问题 [例2] 已知圆,是轴上的动点,、分别切圆于两点 (1)若点的坐标为（1，0），求切线、的方程 (2)求四边形的面积的最小值 (3)若，求直线的方程 【解题思路】(2)用一个变量表示四边形的面积(3)从图形中观察点满足的条件 解析：（1）设过点的圆的切线方程为，则圆心到切线的距离为1， 或0，切线、的方程分别为和 （2）， （3）设与交于点，则 ，在中，， 即 设，则 直线的方程为或 【名师指引】转化是本题的关键，如：第2问把切线长转化为圆外一点到圆心的距离；第3问把弦长转化为圆心到弦所在直线的距离，再利用射影定理转化为圆外一点到圆心的距离。弦长、切线长问题经常要这种转化 [例3 ] 已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4 （m∈R）. （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程. [解析]（1）解法1：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0. 2x+y－7=0， x=3， x+y－4=0， y=1， 即l恒过定点A（3，1）. ∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径）， ∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点. 解法2：圆心到直线的距离， ，所以直线l恒与圆C相交于两点 （2）弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－， ∴l的方程为2x－y－5=0. 【名师指引】明确几点： （1）动直线斜率不定，可能经过某定点 （2）直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线 （3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦 题型3: 圆上的点到直线的距离问题 [例