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初二数学同步辅导教材（第39讲） 【几何进度】 几何第二册 第五章小结与复习（P251~259） 【教学内容】 相似形小结与复习 【重点难点剖析】 一．本章知识系统 比例的基本性质 如果，那么ad=bc，反之，也成立。 合比性质 见课本P204 等比性质 见课本P205 比例线段 ——黄金分割 见课本P208 平行线分线段成比例定理 见课本P212 三角形一边平行线的性质定 平行线分线段成比例定理的推论 （见课本P214）和P218 例6 三角形一边的平行线的判定定理 见课本P216 定义 见课本P225 定义法 平行法 即课本P227定理 判定定理 即课本P228、P230的三个判定定理 （4）直角三角形的相似判定，见课本P233定理 性质 见课本P241、P242定理 二．重点剖析 1．寻找相似三角形的方法一般是“找”或“构”，“找”时一般要利用特征图形（如有公共角的两个三角形），“构”时，一般要通过作平行线等辅助线来建构，另外还可通过“过渡比”来实现两个比相等。 2．特别提醒的是：“没有两边对应成比例，且一边的对角对应相等的两个三角形相似”的判定方法。 【典型例题】 已知 求的值 分析 将已知条件转化为a=5b，c=5d，e=5f代入分子，即可求出值 解：∵ ∴a=5b，c=5d，e=5f，代入得 点评 本题也可用等比性质，由已知可得 即得 解方程 分析 应用比例性质，化简，再解 解 应用合比性质 原方程化为 即 解得 x1=0 经检验 都是原方程的根。 例2 如图1；AE=AF 求证 分析 题中没有“平行线”，我们通过添加平行线， 以便应用平行线截线段成比例的定理，来证 证 作 CM//AB交DF于M 则C D：DB=CM：BF，∠AFD=∠FMC 由于AF=AE ∴∠AFE=∠AEF 又∠AEF=∠CED ∴∠DEC=∠CME 故EC=EM ∴CD：DB=CE：BF 点评 本题添加平行线的方法，还可以有以下几种，如作CN//DF交AB于N或作BQ//AC交DF延长线于Q或作BH//FD交AC延长线等于H等，同学们可以作为练习自己来完成，以总结这类问题添加辅助助平行线的规律。 如图2 已知：AB=AC，延长AB到E， 使BE=AB，D为AB中点，求证CE=2CD 分析 本题证法很多，可用三角形中位线 或全等三角形，或平行四边形来证，但如果 用相似三角形的判定定理就能直接证得； 在△ADC和△ACE中，，∠A=∠A， 即得△ADC∽△ACE，则 即CE=2DC 证：略 如图3 已知：AD是Rt△ABC斜边BC上的高， ∠ABD平分线交AD于M，AC于P， ∠DAC平分线交CD于N 求证 MN//AC 分析 欲证MN//AC， 只要证 DM：MA=DN：NC B C 和， 可得AM：MD=AB：BD，NC：ND=AC：AD 又Rt△ADB∽Rt△CDA，可得DB：AB=AD；AC，从而可推出结论。 证 ∵ ∵AD⊥BC，BM为∠ABD的平分线， ∴△ABM中AB上的高与MD相等 ∴ ∴AM：MD=AB：BD 由AD⊥BC AN为∠DAC的平分线， 同理可得NC：ND=AC：AD 又AD⊥BC AB⊥AC ∴∠ABD=∠DAC ∴△ADB∽△CDA 于是 BD：AB=AD：AC ∴DM：MA=DN：NC 故MN//AC 点评：本题还可以证得∠MNA=∠NAM，推出MN//AC（提示：由已知先证AM=AP，从而推出AN⊥BP，进而可推得AB=BN，△ABM≌△BNM，从而得AM=MN，即∠ANM=∠MAN，∴∠PAN=∠ANM） 读者可作为练习试一试。 如图4 已知梯形ABCD，AD//BC， 对角线AC、BD交于E ，，求S梯形ABCD 分析 S梯形ABCD=S△AED+S△BEC+S△AEB+S△DEC 故只要求S△AEB和S△DEC即可 解 ∵AD∥BC ∴△AED∽△CEB ∴ 又 △AEB和△BEC的底边AE和EC上的高相同 那么 同理可得 S梯形ABCD=S△AED+S△BEC+S△ABE+S△DEC=p2+q2+pq+pq=(p+q)2 已