北航09秋学期《 线性代数》考试真题重点知识点解析.doc

北航09秋学期《 线性代数》考试真题重点知识点解析 备注：本试题分析使用教材为： 工程数学——线性代数 主 2000年1月第版 出版社 D． 解析：本题考核的是行列式的性质。 由AB 0可推出det AB det 0 0，进而推出det A det B 0，所以应该选D。A，B选项均不一定。 4、若n维列向量线性无关，则 。 A．组中增加一个向量后也线性无关 B．组中去掉一个向量后也线性无关 C．组中只有一个向量不能由其余向量线性表出 D． 设为3维列向量，是的转置. 若，则 是一内积，其结果应是一个实数。如果令，则，而由矩阵的相乘，所以结果为3. 15、设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，若，则， 两边取行列式可得，矩阵A是已知的，所以可求出结果为0.5. 21、已知与相似，那么______________。 解析：本题考核的是矩阵的相似。A与B相似，所以B的对角线上的值即为A的特征值。 ，将2，1分别代入方程中可得 22、已知矩阵满足关系，那么它的特征值是______________。 解析：本题考核的是矩阵的特征值。由 ，所以A的特征值是0，1. 24、设 是阶实满秩矩阵, 试证明: 是正定矩阵. 解析：本题考核的是正定矩阵的概念。参见教材205页的定义。要证明是正定矩阵首先要证明其是实对称矩阵。证明如下： 证： 故 是 实 对 称 矩 阵。任 取 非 零 向 量 , 因 满 秩, 故 作 以 为 矩 阵 的 二 次 型 ，故 是 正 定 的。 25、设 是 的矩阵，且 的秩 若已知方程组（ 不全 为零）其两个解向量为 试求方程组 的通解。 解析：本题考核的是线性方程组的解。根据教材138页的性质1和定理3.6可得：由于是非齐次线性方程组的解，则两者相减就是对应的齐次线性方程组的一个结。而非齐次线性方程组的通解可表示为一个特解（可取或）和对应齐次线性方程组的解的和 解：记 则， 又， 故 方 程 的 通 解 为：， 的 通 解 为：。 28、设A为三阶矩阵，是线性无关的三维列向量，且满足，，. I 求矩阵B, 使得； （II）求矩阵A的特征值； （III）求可逆矩阵P, 使得为对角矩阵． 解析：本题考核的是相似矩阵，对角化的知识点。是一道综合题。由于相似矩阵有相同的特征值。而A与B又相似，所以求出矩阵B后，A的特征值也就求出来了。 解（I） ，可知． （II）因为是线性无关的三维列向量，可知矩阵可逆，所以 ，即矩阵A与B相似，由此可得矩阵A与B有相同的特征值. ，得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值为 （III）对应于，解齐次线性方程组 E-B X 0，得基础解系 ，； 对应于，解齐次线性方程组 4E-B X 0，得基础解系 令矩阵，则 又因为， 令矩阵 ， 则P即为所求的可逆矩阵。 教育中心助学服务部 心系天下求学人 Page 1 of 4 专业 专注 周到 细致