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(人教高中课标必修四精品教案)1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
教学目的:
1、掌握正弦函数和余弦函数的性质;
2、会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间;
3、了解从特殊到一般,从一般到特殊的辩证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用。
教学重点、难点
重点:正、余弦函数的性质
难点:正、余弦函数性质的理解与应用
教学过程:
一、复习引入:
1.y=sinx,x∈R和y=cosx,x∈R的图象,分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
2.正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:
(0,0) (,1) (,-1) (2,0)
余弦函数y=cosx x∈[0,2]的五个点关键是
(0,1) (,0) (,-1)(,0) (2,1)
二、讲授新课:
1.定义域:
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R[或(-∞,+∞)],
分别记作: y=sinx,x∈R y=cosx,x∈R
2.值域
正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1]。
其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,取得最大值1。
②当且仅当x=-+2kπ,k∈Z时,取得最小值-1。
而余弦函数y=cosx,x∈R
①当且仅当x=2kπ,k∈Z时,取得最大值1。
②当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时,取得最小值-1。
3.周期性
一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
1(周期函数x(定义域M,则必有x+T(M, 且若T0则定义域无上界;T0则定义域无下界;
2(“每一个值”只要有一个反例,则f (x)就不为周期函数(如f (x0+t)(f (x0))
3(T往往是多值的(如y=sinx 2(,4(,…,-2(,-4(,…都是周期)周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)
正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π。
4.奇偶性
y=sinx为奇函数,y=cosx为偶函数
正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称
5.单调性
正弦函数在每一个闭区间[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1。
余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1。
三、典型例题
例1、 求下列函数的周期:
(1)y=3cosx,x∈R;
(2)y=sin2x,x∈R;
(3)y=2sin(x-),x∈R。
解:(1)∵y=cosx的周期是2π
∴只有x增到x+2π时,函数值才重复出现.
∴y=3cosx,x∈R的周期是2π.
(2)令Z=2x,那么x∈R必须并且只需Z∈R,且函数y=sinZ,Z∈R的周期是2π.
即Z+2π=2x+2π=2(x+π)。
只有当x至少增加到x+π,函数值才能重复出现.
∴y=sin2x的周期是π.
(3)令Z=x-,那么x∈R必须并且只需Z∈R,且函数y=2sinZ,Z∈R的周期是2π,由于Z+2π=(x-)+2π=(x+4π)-,所以只有自变量x至少要增加到x+4π,函数值才能重复取得,即T=4π是能使等式2sin[(x+T)-]=2sin(x-)成立的最小正数.
从而y=2sin(x-),x∈R的周期是4π.
小结:从上述可看出,这些函数的周期仅与自变量x的系数有关.
一般地,函数y=Asin(ωx+),x∈R及函数y=Acos(ωx+),x∈R(其中A、ω、为常数,且A≠0,ω>0)的周期T=.
根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期,如对于上述例子:
(1)T=2π,(2)T==π,(3)T=2π÷=4π
例2、不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0.
(1)sin(-)-sin(-);
(2)cos(-)-cos(-).
解:(1)∵-<-<-<.
且函数y=sinx,x∈[-,]是增函数.
∴sin(-)<sin(-)
即sin(-)-sin(-)>0
(2)cos(-)=cos=cos
cos(-)=cos=cos
∵0<<<π
且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数
∴cos<cos
即cos-cos<0
∴cos(-)-cos(-)<0
例3.(1)函数y=sin(x+)在什么区间上是增函
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