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山东省济南市2015届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题 第I卷（共50分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 2.若（i为虚数单位），则z的共轭复数是 A. B. C. D. 3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行； A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 4.“”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.执行如图所示的程序框图，输出的k值为 A.7 B.9 C.11 D.13 6.某餐厅的原料费支出与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为，则表中的m的值为 A.50 B.55 C.60 D.65 7.已知是双曲线的两个焦点，以为直径的圆与双曲线一个交点是P，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 A. B. C.2 D.5 8.在椭圆内，通过点且被这点平分的弦所在的直线方程为 A. B. C. D. 9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有 A.48种 B.72种 C.96种 D.108种 10.若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数m的取值范围为 A. B. C. D. 第II卷（共100分） 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在中的学生人数是_________. 12.函数的定义域是_________. 13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为__________. 14.设是单位向量，且的最大值为________. 15.设函数的定义域为R，若存在常数对一切实数均成立，则称为“条件约束函数”.现给出下列函数： ①；②；③； ④是定义在实数集R上的奇函数，且对一切均有.其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 在中，边a,b,c的对角分别为A,B,C；且，面积. （I）求a的值； （II）设，将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到的图象，求的单调增区间. 17. （本小题满分12分） 某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分. （I）求的分布列和数学期望； （II）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率. 18. （本小题满分12分） 直三棱柱中，，，点D在线段AB上. （I）若平面，确定D点的位置并证明； （II）当时，求二面角的余弦值. 19. （本小题满分12分） 已知数列满足， （I）证明：数列是等比数列，并求出的通项公式； （II）设数列满足，证明：对一切正整数. 20. （本小题满分13分） 已知抛物C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，的面积为. （I）求抛物线C的标准方程； （II）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由. 21. （本小题满分14分） 已知关于函数， （I）试求函数的单调区间； （II）若在区间内有极值，试求a的取值范围； （III）时，若有唯一的零点，试求. （注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如；以下数据供参考：）  又∵∴ ……6分 ∴，………… 8分 将图象上所有点的横坐标变为原来的，得到，…………9分 所以的单调增区间为…………10分 即…………11分 的单调区间为…………12分 （17）解：（Ⅰ）由题意知的所有可能取值为0，10，20，30．…………1分 的分布列为：