§2.1 微分方程的建立与求解(3.9).ppt

上节内容复习 系统模型 数学表达式,系统方框图 重点掌握由微分方程画系统方框图 系统的分类 线性时不变系统 重点掌握线性时不变特性的定义与判断 系统分析方法 第二章 连续时间系统的时域分析 微分方程式的建立与求解 零输入响应与零状态响应 冲激响应与阶跃响应 卷积及其性质 系统分析过程 例2 （1）将输入信号代入微分方程的右端，化简后右端的表达式称为“自由项”，观察自由项的形式，选择相应的特解形式。 P46 表2-2 给出了几种典型激励函数所对应的特解表达式 （2）把选择的特解表达式代入原微分方程，比较同类项系数求特解表达式中的待定系数，则得 特解 rp(t) 几种典型激励函数相应的特解 3、完全解 时域经典法求解： 总结： 齐次方程，求通解（自由响应） 非齐次方程，求特解（受迫响应） 代入起始条件求出待定系数（0＋时刻） 上节内容复习 微分方程的建立 根据元件特性及系统结构特性 微分方程求解的经典法 齐次解, 特解 总 结 * 系统数学模型的时域表示 时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。 本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。 经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与?(t)有关的问题有待进一步解决—— h(t)； 卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法) 本章主要内容 线性系统完全响应的求解； 冲激响应h(t)的求解； 卷积的图解说明； 卷积的性质； 零状态响应： 。 冲激响应h(t)的求解 卷积的图解说明 卷积的性质 零状态响应=f(t)?h(t) 重点难点 §2.1系统微分方程的建立 主要内容 重点 系统模型 列写微分方程式 n阶线性时不变系统的描述 n阶线性时不变系统的描述 一. 物理系统的模型 许多实际系统可以用线性系统来模拟。 若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。 二. 微分方程的列写 元件特性约束 网络拓扑约束 （一）系统模型 §2.1系统微分方程的建立 列写微分方程式 例1：列出下面系统的微分方程 （1） 输入 is(t), 输出 v(t); 根据KCL 电感 这是一个代表RCL并联电路系统 的二阶微分方程。 i s ( t ) R L C v ( t ) 这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则可以用高阶微分方程表示。 m s F 机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧 牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为 ，外加牵引力为 ，其外加牵引力 与刚体运动速度 间的关系可以推导出为 例3 解： 消元，得 此电路有两个动态元件，这是描述此系统的一元二阶微分方程 （二）n阶线性时不变系统的描述 若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。 （三） 微分方程的求解（经典法） 完全解 r(t) ＝ 齐次解rh(t) ＋ 特解rp(t) e(t) 给定的情况下，如何求r(t)? 齐次解rh(t)：满足上式中右端激励项及其各阶导数 项都为零的其次方程。 特解rp(t)：特解的形式和激励函数形式有关。 1、 齐次解：方程右端为0时的解，是形如 Aeαt 函数的线性组合 令 r(t)=Aeat ，（1）式变为： （ai, i=1,2,…,n） 称（2）式为微分方程的特征方程。其根 称为特征根。 Aieait将满足（1）式。 （2） （1） (1) 特征根各不相同（无重根）： 齐次解形式： (3) 一般形式，ai 为特征方程的Ki 重根 rh(t) = rh(t) = 2、特解: 形式与激励信号e(t)的具体形式有关 激励函数e(t) 响应函数r(t)的特解 r(t) ＝ rh(t) ＋ rp(t) ＝ n个待定系数，需n个初始条件， r(0+), r(1)(0+), r(2) (0+), ,…,r(n)(0+) 1) 齐次解 2) 特解 3) 完全解 解：分别求齐次解和特解，再相加。 A为待定系数 齐次解: homogeneous solution,表示系统的 自由响应（natural response） 由系统自身特性所决定。 特解: particular solution，表示系统的 强迫响应（forced response）， 只与激励函数的形式有关。 齐次解与特解的物理解释