§2.1_度量空间与连续映射.ppt

第2章　拓扑空间与连续映射 2.1　度量空间与连续映射 2.2 拓扑空间与连续映射 2.3 邻域与邻域系 2.4 导集，闭集，闭包 2.5 内部，边界 2.6 基与子基 2.7 拓扑空间中的序列 §2.1　度量空间与连续映射 首先回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数f：R→R称为在点∈R处是连续的，如果对于任意实数ε＞0，存在实数δ＞0，使得对于任何x∈R，当|x- |δ时,有|f(x)-f( )|ε. 为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关．以下，我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念. 定义2.1.1　设 X 是一个集合，ρ：X×X→R．如果对于任何 x，y，z∈X，有 　　(1)(正定性) ρ(x,y)≥0 并且ρ(x,y)＝0 当且仅当 x=y； 　　(2)(对称性) ρ(x,y)=ρ(y,x)； 　　(3)(三角不等式) ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)； 　　则称ρ是集合 X 的一个度量． 如果ρ是集合 X 的一个度量，称 (X，ρ)是一个度量空间，或称 X 是一个对于ρ而言的度量空间．此外，对于任意两点 x，y∈X，实数ρ(x，y)称为从点 x 到点 y 的距离． 着重理解：度量的本质是什么？ 例2.1.1　实数空间R． 对于实数集合 R，定义ρ：R×R→R 如下：对于任意 x，y∈R，令 ρ(x，y)=|x-y|．ρ是R的一个度量，偶对(R，ρ)是一个度量空间．度量ρ称为R的通常度量. 例 2.1.2　n维欧氏空间． 　　对于实数集合 R 的 n 重笛卡儿积 　　　　　＝R×R×…×R 定义ρ： × →R 如下：对于任意x= ,y＝ ， 　令 ρ(x,y)= ρ是的一个度量，因此偶对( ，ρ)是一个度量空间．这个度量空间特别地称为n维欧氏空间． 例2.1.4　离散的度量空间． 　　设 (X，ρ) 是一个度量空间．称(X，ρ)是离散的，或者称ρ是 X 的一个离散度量，如果对于每一个 x∈X，存在一个实数 ＞0 使得ρ(x，y)＞ 对于任何 y∈X，x≠y，成立． 　　例如定义ρ：X×X→R 使得对于任何 x，y∈X，有 　　 ρ(x,y)= 容易验证ρ是 X 的一个离散的度量，因此度量空间(X，ρ)是离散的． 定义2.1.2　设(X，ρ)是一个度量空间，x∈X．对于任意给定的实数ε＞0，集合 　　 {y∈X|ρ(x，y)ε} 记作B(x，ε)，或 ，称为一个以x为中心以ε为半径的球形邻域,简称为x的一个球形邻域，有时也称为x的一个ε邻域． 此处的球形邻域是球状的吗？ 定理2.1.1　度量空间 (X，ρ) 的球形邻域具有以下基本性质： 　　(1) 每一点 x∈X,至少有一个球形邻域，并且点 x 属于它的每一个球形邻域； 　　(2) 对于点 x∈X 的任意两个球形邻域，存在 x 的一个球形邻域同时包含于两者； 　　(3) 如果 y∈X 属于 x∈X 的某一个球形邻域，则 y 有一个球形邻域包含于 x 的那个球形邻域. 定义2.1.3　设 A 是度量空间 X 的一个子集．如果 A 中的每一个点都有一个球形邻域包含于 A (即对于每一个 a∈A，存在实数ε＞0 使得 B(a，ε) A，则称 A 是度量空间 X 中的一个开集． 注意：此处的开集仅是度量空间的开集． 例2.1.5　实数空间R中的开区间都是开集． 定理2.1.2　度量空间 X 中的开集具有以下性质： 　　(1) 集合 X 本身和空集 都是开集； 　　(2) 任意两个开集的交是一个开集； 　　(3) 任意一个开集族(即由开集构成的族)的并是一个开集． 证明　根据定理 2.1.1 此外，根据定理2.1.1(3)可见，每一个球形邻域都是开集． 球形邻域与开集有何联系？ 　　为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广． 定义 2.1.4　设 x 是度量空间 X 中的一个点，U 是X 的一个子集．如果存在一个开集 V 满足条件：x∈V U，则称 U 是点 x 的一个邻域． 定理 2.1.3　设 x 是度量空间 X 中的一个点．则 X的子集 U 是 x 的一个邻域的充分必要条件是 x 有某一个球形邻域包含于 U． 　　定义2.1.5　设 X 和 Y 是两个度量空间，f:X→Y，以及 ∈X 如果对于 f( )的任何一个球形邻域B(f( ),ε)，存在的某一个球形邻域B( ,δ)，使得f(B( ,δ)) B(f( ),ε)，则称映射在点 处是连续的． 　　如果映射 f