§3.3 空间矢量的概念.doc

§3.3 空间矢量的概念 上节导出的A,B,C坐标系统中异步电动机的基本方程式，在一般情况下是很难求解的，用它来分析异步电动机变频调速系统的动态特性也是十分困难的。通常采用各种坐标变换来改造放程式，使异步电动机动态特性的分析和基本方程的求解变得比较容易进行。 由于三相异步电动机在结构上的对称性（三相绕组对称，气隙均匀），再加上气隙磁场在空间按正弦规律分布的假定，因之能够采用空间矢量来表示电动机的实际变量，从而使三相异步电动机的动态数学模型得到简化。 一、 空间矢量的定义 对三相系统而言，所谓空间矢量是这样定义的：在垂直与电动机轴的一个平面上，取三相绕组的轴线（互差120电角度），把三相系统中的三个时间变量及 看成是三个矢量的模，这三个矢量分别位于三相绕组的轴线上；当时间变量为正时，矢量的方向与各自的轴线的方向一致，反之则取相反的方向，然后把三个矢量相加并取合成矢量的 倍（为任取的比例常数），所得合成矢量即为三个时间变量的空间矢量。 为了表示空间矢量，在垂直与电机轴的平面上去定子A相绕组为实轴，引前90为虚轴，构成一个复平面，如图1所示。今取A轴为参考轴，A轴上长度为1的矢量为A轴的单位矢量。B轴和C轴的单位矢量分别为 a=e=+ e= B j a 1200 (+1) 1200 a2 1 A C 图一 空间复平面及单位矢量 这三个轴上的单位矢量之间有如下关系 由此，如取定子A轴为参考轴，那么三相时间变量 及的空间矢量可表示为 =[()+() +()] ------（1） 空间矢量用小写字母并在上方加一横杠表示，右上角的字母表示空间矢量的参考轴。（单位矢量所在坐标轴，称为“”轴）。 例 求异步电动机定子磁势的空间矢量。 设定子三相电流的瞬时值分别为, 每相绕组的有效匝数为 各相绕组磁势的瞬时值为 按空间矢量定义，取定子A轴为参考轴，可得定子磁势的空间矢量为------（2） 式中 是以A轴为参考轴的定子电流空间矢量。在图2中示出了空间矢量 , 。 为便于了解磁势空间矢量的物理意义，设定子电流为三相稳态平衡正弦电流 ------（3） 式中 —— 电流的副值 ——电流角频率 ——除相角 B j ) af p a2fc a2fc af B (+1) f A A C 图二 空间矢量及 根据欧拉公式 利用上式，将式(3)代入式(2)中得 式中是复常数。上式说明，当三相电流为稳态平衡正弦电流时定子磁势空间矢量的幅值是常数，其值为单向磁势幅值的 倍，该空间矢量对定子A轴的空间相角为，对A轴的角速度为。因稳态下都是常数，所以空间矢量 端点的轨迹是一个圆，即是圆旋转磁势。如果在动态过程中电流的幅值和角频率都随时间而变化时，的幅值和旋转角速度也随时间变化，这时端点轨迹就偏离圆形了。可见磁势空间矢量是有确切的物理意义的。实际上若不计此时的空间谱波，并去系数K=1，那么在稳态下即表示在空间按正弦分布的三相绕组合成磁势波。 从式（2）看出，定子电流空间矢量与定子磁势空间矢量仅差一有效匝数 ，因此可以把理解为一个在空间按正弦分布的旋转磁势波，它的幅值为旋转磁势波幅值的倍，而空间相位则表示旋转磁势波幅值的位置。 按空间矢量的定义还可以写出定转子磁链和电压的空间矢量。 二 极坐标变换 按空间矢量定义式（1）写出的空间矢量是以定子A轴为参考的，实际上作为参考轴的“１”轴可以任意选取，如图3所示，可以选定子A轴。转子a轴或任意的轴为“１”轴。由于参考轴选择的不同，同一空间矢量表现的形式也就不同。例如在图3中的一个空间矢量,根据图中给出的轴距角及以及各轴之间的夹角，如果选定子A轴为参考轴，的角距为a轴为参考，角距就变成。因此只要把以转子a轴为参考的空间矢量x的角距增加，就得到了以定子A轴为参考的空间矢量x,用数学公式表示就是 图三 极坐标变换的角度 上式就是把以a 轴为参考的空间矢量变换到以A轴为参考的极坐标变换公式。仿此还可以得到以下的极坐标变换公式： 在列写异步电动机空间矢量基本方程式时，由于选取的参考轴不同，基本方程式的形式也不相同。为了能写出一个一般化的异步电动机空间矢量基本方程式和等值电路，可以先取定子A轴为参考，列写定子空间矢量方程式；取转子a轴为参考列写出转子空间矢量方程式，这样做比较容易。然后把得到的方程式利用极坐标变换